Scisne?

Найти Пи тригонометрическим способом

# 9 Дек 2016 17:47:03
yjdjctk
Найти Пи тригонометрическим методом.

( Это принципиально иное решение. Это аналитическое решение. Кому нужно просто число Пи, то статью можно не читать).

Проходят столетия, но ореол таинственности числа Пи не рассеивается. На предложенную мной формулу нахождения Пи через хорды, а хорды через синусы, на некоторых сайтах меня подняли на смех, говоря, что, чтобы воспользоваться моей формулой, надо знать эти самые синусы. Но синусы можно вычислить только через Пи. Замкнутый круг. И, что «единственно верный и естественно, правильный путь, это воспользоваться математическими рядами» некоторых математиков. Меня такие утверждения не удовлетворяют. По той причине, что никакие математические ряды с их пределами и без них, с любым набором чисел и операторов не дают и не могут объяснить реальной геометрической последовательности нахождения Пи. А окружность это геометрическая фигура. И все исчисления, касающиеся этой фигуры должны выполняться геометрическим (тригонометрическим) способом в логично построенной последовательности. Я это сделал. Осмыслить мой способ может каждый старшеклассник. Для этого достаточно вспомнить известный факт, что Sin половинного угла равен 0,5 хорды исходного угла. И начать вычисления не пользуясь никакими замерами и никакими готовыми данными тригонометрических функций прямоугольного треугольника.

Рисуем окружность с центром С. Рисуем сектор в 60 гр. Рисуем хорду. Получаем равносторонний треугольник А.Б.С. со сторонами равными радиусу сектора (R=1). Одна из сторон есть хордой сектора в 60 градусов. В круге таких секторов и хорд шесть. 1*6 = 6. 6-ть, это Пи на этом этапе вычислений.
От центра окружности рисуем радиус О.С. через средину хорды. Получаем два сектора и два прямоугольных треугольника в 30 градусов. А.Д.С. и Б.Д.С. Получаем две хорды А.О. и О.Б.
Sin 30 это 0.5 от хорды сектора в 60 градусов. По синусу (Д.Б.= 0,5) вычисляем Cos Д.С. 30 градусов. R – Cos = О.Д.
Корень кВ. с (О.Д^2 + Д.Б^2) = есть хорда сектора в 30 градусов. В круге таких секторов и хорд 12-ть. Численное значение хорды умноженное в 12 раз это есть Пи на этом этапе вычислений.

И так, это есть тригонометрический ритм нахождения числа Пи при помощи хорд. А нахождение хорд при помощи реальных синусов, а не тех, «которые «можно вычислить только через Пи». И ни какой шаг не спорный. Потому, что начало с достоверного, не требующего доказательств. А именно; а) хорда сектора в 60 градусов равна радиусу окружности. б) 0,5 этой хорды есть синус половинного угла. Это в 30 градусов. в) через синус половинного угла вычисляем косинус половинного угла. г) вычисляем разницу между радиусом и косинусом половинного угла. Д) через эту разницу и синус половинного угла вычисляем хорду половинного угла. (Надеюсь о треугольнике Пифагора знают все). Теперь половинный угол делим на два и т.д. Не выпускайте из виду, что радиус (1) и делитель углов (2) постоянны. Обратите внимание, как после каждого деления угла, хорда приближается к окружности, а сумма хорд к протяженности окружности.

Привожу примеры вычислений с реальными числами.

Дан сектор в 60 градусов. Хорда замыкает равносторонний треугольник со сторонами = радиусу сектора (R)
хорда 60 = радиусу (R = 1) Пи = 1*6= 6 точн.~ 0,954929659
(точн. ~ Это точность в сравнении с официальным 2Пи)

Разделим 60 на 2. 60/2=30
Sin 30 = 0.5 R (0,5хорды 60 –ти градусов)
Cos 30 = Kk (1- 0.5^2) = Kk (1 – 0.25) = Kk 0.75
Cos 30 = 0,86602540378443864676372317075294
1- Cos = 0,13397459621556135323627682924706
(1- Cos)^2 = 0,01794919243112270647255365849413
Sin 0.5^2=0.25
(1- Cos)^2+ 0.25= 0,26794919243112270647255365849413
Корень кв. (Kk) c 0.267949…= 0,5176380902050415246977976752481 - (это хорда сектора 30-ти градусов) * 12 =
Пи = 6,2116570824604982963735721029772 точность~ 0.988615929

Разделим 30 на 2. 30/2= 15
Sin 15 = 0,25881904510252076234889883762405 (0,5хорды 30)
Cos 15 = Kk (1- 0,25881904510252076234889883762405^2) =
Kk (1 – 0,06698729810778067661813841462353) =
Kk (0,93301270189221932338186158537647) =
Cos 15 = 0,9659258262890682867497431997289
1 – Cos 15 = 0,0340741737109317132502568002711
(1 – Cos)^2 + (Sin 15)^2 = 0,26105238444010318309681245579097
Kk = 0,26105238444010318309681245579097 ( хорда сектора 15 гр)
хордe сектора 15 гр * 24 = Пи
Пи = 6,2652572265624763943234989389834 точн.~ 0.997146657

Разделим 15 градусов на 2. 15 / 2 = 7,5
Sin 7.5 = 0,13052619222005159154840622789549 (0,5хорды 15)
Sin 7.5^2 = 0,01703708685546585662512840013555
Cos 7.5= Kk(1–Sin7.5^) = 0,98296291314453414337487159986445
= 0,99144486137381041114455752692856
1 – Cos 7.5 = 0,00855513862618958885544247307144
(1-Cos 7.5)^2 = 7,319039691332108575654600732293e-5 (1-Cos 7.5)^2 + Sin 7.5^2 = 0,01711027725237917771088494614287
Kk {(1-Cos 7.5)^2 + Sin 7.5^2} = 0,13080625846028613363063111755035 (это хорда угла 7,5 гр.)*
48 = Пи 6,2787004060937344142702936424166 точн.~ 0.999286206

Разделим 7.5 градусов на 2. 7.5 / 2 = 3.75
Sin 3.75 = 0,06540312923014306681531555877515 (0,5хорды 7,5)
Sin 3.75^2= 0,00427756931309479442772123653572
Cos 3.75 = Kk (1- Sin3.75^2)= 0,99785892323860350673806979127278
1-Cos 3.75 = 0,00214107676139649326193020872722
(1-Cos 3.75)^2= 4,5842096981920961391809187262194e-6
Kk (Sin 3.75^2 + (1-Cos 3.75)^2) = 0,06543816564355228412731985263459 (хорда угла 3,75)* 96 =
Пи = 6,2820639017810192762227058529206 точн. ~ 0,999821523
И так далее. До нужного или желаемого знака.

Следствие.
(Это аналитическое решение. Кому нужны просто числа, то можно не читать.)

В алгоритме нахождения Пи я начал с угла в 60 градусов.
При делении пополам образуются четыре иных угла. Все они имеют свои синусы. С каждым продолжением вычислений добавляются иные четыре угла и синуса. И так до бесконечности. Эти углы и синусы достоверные, не подпорченные, какими либо рядами. Кому надо расширить пантеон таких углов в два раза, тот может повторить нахождение числа Пи, начиная с 45 градусов. И вклинить иные синусы между этими. А может и еще (n) каких либо углов в пределе, ила за пределами 90 градусов. Например; 60 – 45 = 15. 15 это уже новый угол со своими тригонометрическими функциями и их последствиями. 15 /2 = 7,5. И этот тоже. 50 -7,5 = 52,5. И этот. 45-7,5 = 37,5. Потом 7,5 /2. И так далее. Таким образом, можно получить любое количество разных углов. И, соответственно, их функций. Настоящих. Но это тема иная и я ею заниматься не буду. Буду рад, если ее кто разработает. Испрашивать у меня разрешения не надо. Ссылка на мою работу желательна, но не обязательна.

И. И. Основа.
# 11 Дек 2016 21:07:52
SE

yjdjctk писал(а):
через синус половинного угла вычисляем косинус половинного угла
Такой способ определения\вычисления тригонометрических функций давно известен. Например, см. Ильин, Позняк. Основы мат. анализа. Часть 1. Дополнение к главе 4.
yjdjctk писал(а):
При делении пополам образуются четыре иных угла. Все они имеют свои синусы. С каждым продолжением вычислений добавляются иные четыре угла и синуса. И так до бесконечности. Эти углы и синусы достоверные, не подпорченные, какими либо рядами.
Так это по сути и есть ряд. Чем ваше бесконечное приближение к предельному результату отличается от вычисления рядов?
# 14 Дек 2016 00:49:24
yjdjctk
SE писал(а):
через синус половинного угла вычисляем косинус половинного угла
Такой способ определения\вычисления тригонометрических функций давно известен. Например, см. Ильин, Позняк. Основы мат. анализа. Часть 1. Дополнение к главе 4.
Мне этого говорить не надо. Я не плагиатор. И ясно сказал, что "Для этого достаточно вспомнить известный факт, что Sin половинного угла равен 0,5 хорды исходного угла".

SE писал(а):
Так это по сути и есть ряд. Чем ваше бесконечное приближение к предельному результату отличается от вычисления рядов?
Осмысленностью. Человек, если он не робот и не зомби, рисует, вычисляет и воочию видит, как хорда неуклонно приближается к окружности. И не только знает, но и понимает известное, что протяженность прямой никогда не сравниться с протяженностью дуги. Поэтому я и сказал, что "Это аналитическое решение. Кому нужно просто число Пи, то статью можно не читать". И, не надо лебезить перед древними и не очень. Они говорят о немой цифири, а я о смысле. Как о реальных окружности, диаметре и их соотношениях, так и о тригонометрических функциях. Коммерсантам, бухгалтерам, кладовщикам это не нужно. Да. Понимаю; многим обидно, что исчез ореол "тайны" числа Пи. Что я вытащил эту "тайну", как кота с мешка и показал, что это не мистический кот, а обыкновенный Мурзик. Но!!! За то, многие мозги (зачастую далеко не рядовые) очнуться от наваждения "тайн" трисекции, семи секции и прочих экций. И займутся теми вопросами, от которых их планомерно, настойчиво уводили те кукловоды, которым "сознание масс" о-о-о-чень не по нраву.

И. И. Основа.
# 14 Дек 2016 01:55:29
SE

yjdjctk писал(а):
Таким образом, можно получить любое количество разных углов. И, соответственно, их функций.
Подобное уже сделано. Имел ввиду не сами школьные формулы

$\sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$,

$\cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$,

а метод нахождения синуса любого рационального угла бесконечным делением угла пополам. Заметьте, любого рационального угла, а не только, как у вас, вида $\frac{x}{2^n}$, где $x$ — угол вида 60, 45 и т.п., синус которых нетрудно вычисляется.
yjdjctk писал(а):
не подпорченные, какими либо рядами
...
И, соответственно, их функций. Настоящих.
...
Как о реальных окружности
...
Но!!! За то, многие мозги (зачастую далеко не рядовые) очнуться от наваждения "тайн" трисекции, семи секции и прочих экций.
Кончено, это замечательно, что вы ищете геометрические интерпретации. Но наваждение в этом вопросе может быть только у не математиков. Напротив, настойчиво искать связь между абстрактными математическими объектами и наглядными, реальными, при этом, не имеющие наглядной интерпретации математические построения, считать ненастоящими и подпорченными, -- это как раз характерно для незрелого, начинающего математика. С такими установками вы никогда не сможете принять комплексные числа, структуры их высшей алгебры и.п.
yjdjctk писал(а):
и воочию видит, как хорда неуклонно приближается к окружности.
Наглядность и опора на интуицию без формализма часто приводит к заблуждениям. Примеры тому были в начале становления матанализа, при развитии теории множеств.

пи=4
# 14 Дек 2016 22:22:13
yjdjctk
а) Подобное уже сделано.
б) где $x$ — угол вида 60, 45 и т.п
с) считать ненастоящими и подпорченными,
д) Наглядность и опора на интуицию без формализма часто приводит к заблуждениям.
е) Вы никогда не сможете принять комплексные числа,

Отвечаю; а) Подобное и такое, это не такое.
б) Эти углы очень удобные для начала вычислений. Можете проверить.
с) Извините. Правильнее назвать клонами. Копия (возможно только почти) оригинала, но рождена не мамой геометрией. А окружность, круг и все в нем, это геометрия.
д) Возможно, но не в этом случае. Можете проверить.
е) В этом случае они не нужны. Здесь достаточно арифметики. Зачем усложнять то, что можно сделать проще.

Возможно кто-то когда-то и займется вычислением Пи моим методом. И, если это произойдет, то результат будет нам судьею.

И. И. Основа.
# 14 Дек 2016 23:43:21
SE

yjdjctk писал(а):
И так далее. До нужного или желаемого знака.
А как вы определите, что достигли нужной точности?
# 16 Дек 2016 22:42:48
yjdjctk
SE писал(а):
А как вы определите, что достигли нужной точности?
Радиус и хорда сектора в 60 гр. = 1. Радиус постоянен, делитель хорды (2) постоянен. Ритм постоянен. Следующее неизбежно вытекает из предыдущего постоянно. Так что точность заложена в принципе. Ошибиться просто невозможно. Разве сбой в машине произойдет.

И.И.Основа.
# 16 Дек 2016 23:12:26
SE

yjdjctk писал(а):
Радиус и хорда сектора в 60 гр. = 1. Радиус постоянен, делитель хорды (2) постоянен. Ритм постоянен. Следующее неизбежно вытекает из предыдущего постоянно. Так что точность заложена в принципе. Ошибиться просто невозможно. Разве сбой в машине произойдет.
Сколько шагов нужно сделать, чтоб вычислить число Пи с точностью до 4-го знака после запятой? 10, 50, а может 10000000? Наоборот, если мы сделаем 10 шагов в вашем ритме, то насколько точное приближение числа Пи мы при этом получим? Вы не можете ответить на эти вопросы.

Мы знаем (хотя и это знание основано на наглядности) лишь то, что ваша последовательность чисел приближается к числу Пи, но не известно, с какой скоростью. Без оценки погрешности грош-цена вашему алгоритму.

Кстати, при вычислении с помощью "подпорченных" рядов такая оценка погрешности есть. Причем вы в своем первом сообщении делали оценку точности своих вычислений, сравнивая свои результаты со значением, которое уже вычислено с известной точностью с помощью тех же рядов, например.
# 18 Дек 2016 23:15:02
yjdjctk
SE писал(а):
Вы не можете ответить на эти вопросы.
Не хочу. Я сделал главное; показал, как хорды приближаются к окружности. Чего не могут показать караваны радикалов с чем то между ними.
SE писал(а):
Без оценки погрешности грош-цена вашему алгоритму.
Если цена будет назначена, то не мной и не Вами. Я же ясно сказал, что моя статья не для базара.

SE писал(а):

Кстати, при вычислении с помощью "подпорченных" рядов такая оценка погрешности есть. Причем вы в своем первом сообщении делали оценку точности своих вычислений, сравнивая свои результаты со значением,
Вот видите, у рядов "погрешности есть". А у меня невозможны "в принципе". Укажите точно где я "сравнивал свои результаты со.."

И.И.Основа.
# 19 Дек 2016 00:12:38
SE

yjdjctk писал(а):
Укажите точно где я "сравнивал свои результаты со.."
Вот же:
yjdjctk писал(а):
Пи = 6,2652572265624763943234989389834 точн.~ 0.997146657.
Пи = 6,2820639017810192762227058529206 точн. ~ 0,999821523
И так далее. До нужного или желаемого знака.
Чтобы оценить степень приближения к Пи, вы вынуждены сравнивать свои числа с уже вычисленным значением Пи. Другого способа оценить, как близко вы подошли к Пи, у вас нет и быть не может.

Представьте, что мы совсем не знаем, чему равно Пи. Мы решили его вычислить впервые в истории с помощью вашего уникального метода.

Сделали первый шаг и получили число 6,2116570824604982963735721029772.
Сделали второй шаг и получили число 6,2652572265624763943234989389834.
...
Последовательность чисел возрастает.

Сколько еще надо сделать шагов, чтоб получить точность хотя бы 1 точный знак после запятой? Мы число Пи вычисляем впервые, поэтому, вообще говоря, нельзя исключать, что значение 2Пи равно не 6,28..., а 6,59... или даже 6,71..., которое мы более менее достигнем только на миллионном или на миллиардном шаге. Даже когда мы сделаем миллиард шагов, мы не сможем проверить, что вычислили точно ходя бы один знак после запятой. Вы понимаете, в чем проблема?

В отличие от вашего метода, нормальные алгоритмы позволяют оценить на каждом шаге близость к вычисляемому предельному значению. Это делается, например, с помощью теоретической оценки остаточного члена ряда.

Пример:

Синус раскладывается в ряд Тейлора в точке 0 с остаточным членом $r$:

$\sin x=x-\frac {x^{3}}{3!}+\frac {x^{5}}{5!}-\cdots + (-1)^{n}\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!} + r_{2n+2}(x)$.

Для остаточного члена $r_{2n+2}(x)$ на отрезке $-1\le x \le 1$ справедлива оценка

$|r_{2n+2}(x)|\le\frac{1}{(2n+3)!}$.

Например, $|r_{2n+2}(x)|\le\frac{1}{(2n+3)!} < \frac{1}{1000}$ при $n\ge 2$.

Таким образом, мы можем быть заранее уверены, что на отрезке $-1\le x \le 1$ формула

$\sin x \approx x-\frac {x^{3}}{3!}+\frac {x^{5}}{5!}$

дает погрешность не более $10^{-3}$ от истинного значения $\sin x$.
yjdjctk писал(а):
Не хочу.
И не сможете, даже если захотите.
yjdjctk писал(а):
Вот видите, у рядов "погрешности есть". А у меня невозможны "в принципе".
Да не ошибки промежуточных вычислений при сложении, вычитании, делении и взятии корней. На каждом шаге нужна оценка, позволяющая оценить, как близко мы уже подошли к предельному значению. У любого вычислительного алгоритма должна быть такая оценка. У вашего нет, поэтому использовать на практике его нельзя. Мы просто не можем узнать, когда останавливать вычисления по вашему методу.
yjdjctk писал(а):
караваны радикалов
Огорчу вас, радикалы тоже вычисляются с помощью рядов. Так что ваш метод в любом случае подпорчен рядами.
# 19 Дек 2016 22:34:13
yjdjctk
yjdjctk писал(а):

Кстати, при вычислении с помощью "подпорченных" рядов такая оценка погрешности есть. Причем вы в своем первом сообщении делали оценку точности своих вычислений, сравнивая свои результаты со значением,

«Эта точность в сравнении с официальным 2Пи».
Этот вопрос возник у Вас на пустом месте. Вы же видите, что я привел результаты только пяти этапов вычислений. И видите, что результаты неуклонно приближаются к эталонному Пи. А чтобы это видеть воочию, надо чтобы параллельно находилось и это эталонное Пи. Когда то сотни лабораторий точили, шлифовали цилиндры. Катали их по поверхностям, наматывали на них ленты, тончайшую проволоку и мерили, мерили… Потом результаты тысяч экспериментов сложили в кучу и разделили на их количество. Получилось число Пи. У геометров. Математикам это не понравилось, и они решили обосновать Пи математически. При помощи метода тыка, возникли разные корявые числовые ряды. Пришлось (с оглядкой на готовое Пи), маскировать корявости при помощи всевозможных компенсаций погрешностей в разных пределах. Получилось то, что видим. Это математическое Пи есть клон экспериментальному Пи. «Федот да не тот». Но и экспериментальное Пи не безупречно. Потому, что никакой эксперимент не может быть выполнен идеально. Пи, вычисленное тригонометрическим путем, идеально до бесконечности. Потому, что в элементарной тригонометрии нет места человеческому фактору.
И.И.Основа.
SE писал(а):
На каждом шаге нужна оценка, позволяющая оценить, как близко мы уже подошли к предельному значению
Бесконечное предельного значения не имеет.

SE писал(а):
Мы просто не можем узнать, когда останавливать вычисления по вашему методу.
А вы и не начинайте. Вашего Пи для домашнего обихода более чем достаточно. А для объяснения самой сути Пи достаточно тех шагов, которые я уже сделал. Но если у вас спортивный интерес к этому, (вид соревнования "кто дальше плюнет"), то машину а)программируйте, б)включайте, в)ложитесь спать.

И.И.Основа.
# 20 Дек 2016 02:28:15
SE

yjdjctk писал(а):
Бесконечное предельного значения не имеет.
Вы бы ознакомились с программой матанализа хотя бы первого курса для приличия, прежде чем браться за ревизию математики.
# 22 Дек 2016 22:43:01
yjdjctk
SE писал(а):
Вы бы ознакомились с программой матанализа хотя бы первого курса для приличия, прежде чем браться за ревизию математики.



А я и не берусь. Я говорю, что такая математика при исчислении числа Пи не нужна. Я буду рисовать, и объяснять ход вычислительного процесса, и меня поймут. А если Вы начнете рисовать численные ряды и объяснять, то на Вас посмотрят с недоумением. Потому, что будут ожидать момента приближения хорд к окружности, а будут видеть, как один радикал залазит на другой. Им будет смешно и обидно. В первом моем сообщении (не здесь) я предложил метод нахождения Пи через хорды, а хорды через синусы. Меня осмеяли. Потому, что (говорят), что в том то и дело, что синусы как раз то и находятся при помощи Пи. А потом через синусы уточняется Пи. Ловко, как у Мюнхгаузена. Взял себя за воротник и вытащил из болота. Исчисление необходимых синусов я нашел с помощью элементарной тригонометрии. А потом оказалось, что и вычисление корней (при вычислении косинусов) тоже связано с рядами. (Попробуйте и это наглядно показать ученикам.) Вот и получается, что и это мое решение формально не правильное. И за это порицают меня. Как будто я сочинил эту математику, собранную из протезов. Я уже неуверенно и клавишами плюс, минус пользуюсь. Опасаясь, как бы эта инвалидная математика и сюда свой костыль не воткнула. И что интересно: меня порицают за критику «рядов» и сами говорят об их несовершенстве. SE писал(а); «Кстати, при вычислении с помощью "подпорченных" рядов такая оценка погрешности есть». Но какое совершенство, если есть погрешности? Так вот: синусы необходимые для вычисления Пи вне подозрений. Значит и квадрат косинуса вне подозрений. Чтобы вывести из подозрения сам косинус можно (и нужно) корень извлекать не нажатием клавиши «корень», а иным путем. Может столбиком, может методом подстановки. Естественно, поручить это надо машине. И, желательно возводить в квадрат не клавишей «квадрат», а обычным умножением. Потому что, а вдруг и в степенях, какая нибудь дохлая собака зарыта. Так будет численная сторона моего ритма защищена от пустых нападок.
Имеющиеся Пи и функции почти точные. Потому, что тщательно подогнаны под факт. Косметологи потрудились. Но это не путь к объяснению самой сути числа Пи. Мой путь ясен, логичен, прост. Даже возразить нечего. Вот и пришлось возражателям возражать, ставя мне в вину собственные математические недоделки, огрехи, ляпсусы. Как свекровь ставит в вину невестке то, что её сын (свекрови) дурак. Все числа, да числа. А о самом главном, о подлинной геометрической картине происхождения числа Пи, никто даже и не обмолвился. А ведь это главное. Самое, что ни есть, главное. Именно ради этого статья и написана.

И.И.Основа.
Только зарегистрированные пользователи могут создавать сообщения.
Вход, Регистрация.