Scisne?

IX. Релятивистский мир / Математика. Поиск истины

Морис Клайн

Комментарии: 0
<<< |1|…|9|10|11|12|13|14|15|16|17|…|19| >>>

IX. Релятивистский мир

Великий архитектор Вселенной все более представляется нам чистым математиком.

Джеймс Джинс

Мы останемся верными принципу относительности в его наиболее широком смысле, если придадим такую форму законам [природы], что они окажутся применимы в любой четырехмерной системе координат. [Эйнштейн А. Сущность теории относительности (см. [7], т. 2, с. 48).]

Альберт Эйнштейн

Величайший переворот в физике начался совсем незаметно, когда в 1881 г. американские физики решили поставить эксперимент, который показал бы, что Земля движется в покоящемся эфире. Этот эксперимент, основанный на очень простом принципе, задумал и осуществил Альберт А. Майкельсон (1852-1931).

Как показывают несложные вычисления, чтобы спуститься на веслах вниз по реке на определенное расстояние и подняться вверх по течению на то же расстояние, требуется больше времени, чем для прохождения того же расстояния туда и обратно в стоячей воде. (Об этой задаче мы упоминали в гл. I, говоря об ошибках интуиции.) Например, если, двигаясь на веслах в стоячей воде, человек достигает скорости 4 км/ч, то путь 12 км в одном направлении и 12 км обратно он преодолевает за 6 ч. Но в реке, скорость течения которой равна 2 км/ч, он будет двигаться по течению со скоростью (4 + 2) = 6 км/ч, а против течения со скоростью (4 − 2) = 2 км/ч, поэтому на весь путь туда и обратно у него уходит (2 + 6) = 8 ч. Общий принцип состоит в том, что если какая-то постоянная скорость (например, скорость течения) препятствует движению более продолжительное время, чем способствует ему, то общий итог сводится не к выигрышу, а к потере времени.

Рис. 35.

Майкельсон и впоследствии его сотрудник Эдвард У. Морли (1838-1923), воспользовавшись этим принципом, поставили следующий эксперимент. Из точки A (рис. 35) на Земле посылался луч света к зеркалу, расположенному в точке B также на Земле. Направление от A к B совпадало с направлением движения Земли вокруг Солнца. Предполагалось, что луч проходит через эфир к точке B с той скоростью, с какой обычно распространяется свет, затем отражается и возвращается к точке A. Однако вследствие движения Земли зеркало из точки B перемещается в новое положение C, пока к нему идет луч света. Следовательно, из-за движения Земли луч света достигает зеркала с запозданием. В точке C свет отражается и возвращается к точке A. Но пока он идет из A к B, точка A из-за движения Земли перемещается в новое положение D, а пока луч идет обратно, точка D перемещается в новое положение E. Таким образом, движение Земли приводит к тому, что луч света попадает из точки C в точку E. Но расстояние, проходимое светом от C к E, короче расстояния от A к C. Значит, собственное движение Земли способствует распространению луча света на более коротком пути, чем «тормозит» его. Иначе говоря, движение Земли сказывается на распространении луча света так же, как течение реки на движении лодки. Но тогда в соответствии с изложенным выше принципом лучу света, чтобы попасть из A в C и требуется больше времени, чем для прохождения отрезка AB туда и обратно в том случае, если бы Земля покоилась относительно эфира. Хотя Майкельсон и Морли использовали для измерения «задержки» луча света очень чувствительный прибор — интерферометр, никакого запаздывания им обнаружить не удалось. Таким образом, ни малейших признаков, которые свидетельствовали бы о том, что Земля движется в эфире, не было замечено.

Перед физиками встала проблема, от которой нельзя было отмахнуться. Эфир как «переносчик» света должен был быть покоящейся средой, в которой движется Земля, но это предположение расходилось с результатом эксперимента. Пренебречь несоответствием теории итогу столь фундаментального эксперимента было невозможно, тем более что к тому времени многие физики уже прониклись убеждением в необходимости коренного пересмотра некоторых разделов своей науки.

В конце XIX в. представители математического направления в физике столкнулись с еще одной трудностью. Чтобы понять, в чем именно она состояла, нам придется совершить небольшой экскурс в прошлое. Ньютон считал пространство и время абсолютными и в «Математических началах натуральной философии» определял их следующим образом: «Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью… Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным» ([19], с. 30). Понятия абсолютного пространства и времени Ньютон рассматривал как объективную реальность в независимости от материальных тел или человеческого опыта. Ньютон был убежден в том, что эти понятия известны наблюдателю, неизмеримо превосходящему мудростью человека, — Богу. Идеальные формулировки математических и физических законов этого мира, по мнению Ньютона, есть не что иное, как законы, устанавливаемые Богом на основе производимых им абсолютных измерений. Только узнав о движении Земли относительно неподвижного наблюдателя — Бога, человек смог придать божественным законам их истинную форму. Мы видим, таким образом, что естественнонаучное мышление Ньютона основывалось в конечном счете на метафизических представлениях о Боге, абсолютном пространстве, абсолютном времени и абсолютных законах. Многие из современников и преемников Ньютона, главным образом Эйлер и Кант, разделяли его убеждения.

Разумеется, Ньютон понимал, что человек не располагает знанием абсолютного пространства и абсолютного времени. Поэтому он высказал предположение о существовании инерциальных наблюдателей — таких, для которых выполняется первый закон Ньютона. Напомним, что, согласно этому закону, тело, если на него не действует сила, сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения.

Если один инерциальный наблюдатель задан, то можно указать множество других инерциальных наблюдателей, покоящихся или движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Каждый из этих наблюдателей движется в так называемой инерциальной системе отсчета. Поясним это понятие на простом примере. Предположим, что пассажир судна, идущего с постоянной скоростью, перемещается с постоянной скоростью с места на место и измеряет расстояния, на которые он передвигается. Одновременно наблюдатель, находящийся на берегу, также измеряет расстояние между начальным и конечным положениями пассажира. Ясно, что относительно берега пассажир перемещается на большее расстояние. Расхождение в результатах измерений пассажира и наблюдателя на берегу нетрудно объяснить, если учесть движение судна. Перед нами две системы отсчета: одна связана с наблюдателем на берегу, другая — с пассажиром судна.

Рассмотрим две системы отсчета, которые движутся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, и пусть какое-либо тело перемещается относительно обеих систем отсчета. Относительно первой системы отсчета тело описывает некую траекторию, по которой оно движется в соответствии с вполне определенным законом. Относительно второй системы отсчета тело описывает другую траекторию, и движение по ней подчиняется другому закону. Математически любую систему отсчета можно задать, введя систему координат. Допустим, что система отсчета K (рис. 36) неподвижна, а система отсчета K' движется относительно нее вправо с постоянной скоростью. Предполагается, что в каждой системе отсчета наблюдатели снабжены одинаковыми часами.

Рис. 36.

Пусть P — какая-то точка в пространстве; х', y' и z' — ее координаты относительно системы отсчета K'; x, y и z — координаты точки P относительно системы отсчета K (на рис. 36 точка P выбрана так, что z = z' = 0). Так как система отсчета K' движется вправо со скоростью v, координаты x и x' связаны между собой соотношением x = x' + vt. Оно позволяет пересчитывать абсциссу x' точки P относительно системы отсчета K' в абсциссу x' точки P относительно системы отсчета K. Кроме того, y = y'. Если оба наблюдателя измеряют промежутки времени по тщательно сверенным часам, то

t = t'.

В ньютоновской физике все законы механики остаются неизменными при таких преобразованиях, т. е. в координатах x, y, z, t закон выражается такой же зависимостью, как в координатах x', y', z', t', если скорость второй системы относительно первой постоянна.

Системы отсчета K и K' называются галилеевыми, или инерциальными. Каждая из них движется относительно другой равномерно и прямолинейно. Ни одна система не ускоряется и не поворачивается относительно другой. Пользуясь терминологией самого Ньютона, можно было бы сказать, что галилеевы системы отсчета сохраняют состояния покоя или равномерного и прямолинейного движения в абсолютном пространстве. Какая из двух систем покоится относительно абсолютного пространства, определить невозможно, поскольку, как мы видим, это никак не сказывается на законах преобразования. Кроме того, дифференциальные уравнения, справедливые в одной системе отсчета, выполняются и в другой. Что же касается законов классической механики, то они — и это следует подчеркнуть еще раз — одинаковы в обеих системах отсчета.

Обратимся теперь к уравнениям Максвелла. В конце XIX в. физики полагали, что в любой галилеевой системе отсчета дифференциальные уравнения в частных производных имеют одинаковый вид. Иначе говоря, считалось, что в теории электромагнитного поля все обстоит так же, как в механике Ньютона. Но, как выяснилось, подобная точка зрения приводит к противоречию. Чтобы получить в системе отсчета K законы, которые выполняются в системе отсчета K', необходимо применить к последним формулы преобразования от системы отсчета K' к системе отсчета K. Проделав такую операцию с уравнениями Максвелла, мы обнаружим, что в них необходимо включить дополнительные члены, содержащие относительную скорость двух систем отсчета. Причина появления этих дополнительных членов проста: скорость не сохраняется при переходе от одной системы отсчета к другой (или, как говорят математики, скорость не инвариантна относительно такого перехода), а уравнения Максвелла содержат скорость света c. Например, рассмотрим два световых сигнала, из которых один распространяется вправо со скоростью c, а другой — влево со скоростью c. Наблюдатель, движущийся вправо со скоростью v, «догоняет» движущийся в том же направлении световой сигнал, а потому его скорость относительно этого сигнала равна cv. С другой стороны, наблюдатель «убегает» от второго сигнала (движущегося влево), поэтому его скорость относительно второго сигнала равна c + v. Как видим, с точки зрения движущегося наблюдателя эти два световых сигнала распространяются с различной скоростью, поэтому и уравнения Максвелла для него не инвариантны. Для уравнений Максвелла существует лишь одна выделенная система отсчета: та, которая покоится относительно эфира.

Таким образом, преобразование уравнений Максвелла из одной системы отсчета в другую, движущуюся равномерно и прямолинейно относительно первой, показало, что эти уравнения ведут себя иначе, чем законы Ньютона в механике. В классической механике простое преобразование переводит одну систему отсчета в другую, но при том же преобразовании вид уравнений Максвелла изменяется.

Выход из создавшегося положения предложил выдающийся физик-теоретик Хендрик Антон Лоренц. Он поставил вопрос: что если сохранить инвариантность уравнений Максвелла и ввести надлежащие изменения в закон преобразования из одной системы отсчета в другую? Для простоты ограничимся случаем, когда изменение в законе преобразования касается только одной пространственной переменной и времени. Лоренц получил следующие формулы преобразования одной системы координат в другую, движущуюся относительно первой с постоянной скоростью v:

Эти формулы преобразования относятся к случаю, когда вторая система координат движется в том же направлении, что и первая, а именно в направлении оси x. Заметим, что в преобразовании Лоренца пространственная координата x и время t входят в соотношения вместе. Сами эти соотношения между x и x', t и t' здесь не столь просты, как в преобразовании Галилея. В частности, часы в двух системах координат, связанных преобразованием Лоренца, показывают различное время t и t', т.е. t ≠ t'. Заметим также, что c — скорость света, равная 300 000 км/с. Обычные скорости v, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни, столь малы по сравнению со скоростью света, что при таких скоростях преобразование Лоренца практически сводится к преобразованию Галилея.

В 1905 г. на сцене физики появилась новая фигура — Альберт Эйнштейн (1879-1955). Эйнштейн явно питал большую склонность к физике, чем к математике. Хотя он в достаточной мере владел математикой и с годами существенно усовершенствовал математический аппарат своей теории, для него математика всегда оставалась не более чем полезным инструментом. Физике Эйнштейн придавал несравненно более важное значение. На него большое впечатление произвели работы по теории электромагнетизма и, в частности, исследования Генриха Герца. Хотя поистине революционные работы Эйнштейна по теории относительности и, как мы увидим в следующей главе, по квантовой механике, были выполнены уже в XX в., Эйнштейна можно считать последним из великих мыслителей XIX в., видевших в математике не более чем некое средство физического мышления. Истина для Эйнштейна лежала за пределами математики. Тем не менее развитая им теория относительности всецело покоилась на математике.

Ознакомившись с работой Лоренца и экспериментом Майкельсона — Морли (хотя до сих пор далеко не ясно, в какой степени эти работы были ему известны), Эйнштейн предпринял попытку устранить столь явное расхождение между классической механикой и теорией Максвелла, а заодно решить некоторые другие из упоминавшихся нами проблем (см. гл. VIII). Одна из работ, выполненных Эйнштейном в 1905 г., называлась «К электродинамике движущихся тел». В ней излагалась специальная (или частная) теория относительности. По существу в своем ограниченном варианте специальная теория относительности родилась в недрах теории электромагнитного поля Максвелла.

Эйнштейн, как говорится, взял быка за рога, сформулировав несколько важных постулатов. Поскольку не существовало иного способа определить абсолютное пространство и время, кроме как с помощью инерциальных систем отсчета, он предположил, что и в механике для преобразования из одной инерциальной системы в другую следует пользоваться соотношениями не Галилея, а Лоренца. Такое решение не было произвольным или надуманным. Лоренц пытался обеспечить инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований системы координат. Эйнштейн полагал, что ему удастся распространить действие законов Ньютона хотя бы на инерциальные системы отсчета. Сильное впечатление на Эйнштейна произвел экспериментально установленный факт постоянства скорости света для всех наблюдателей (независимо от движения источника света), и этот факт Эйнштейн принял в качестве одного из постулатов специальной теории относительности. И поскольку электромагнитное поле создает силу, действующую на электроны, а сила — понятие механическое, у Эйнштейна были определенные основания полагать, что преобразования Лоренца применимы и к механике. Понятие эфира Эйнштейн решительно отверг. Вопрос о том, каким же образом распространяется свет, по-прежнему остался открытым. По словам Гете, величайшее искусство как в теории, так и в практической жизни состоит в том, чтобы превратить проблему в постулат. Именно это и сделал Эйнштейн в 1905 г.

Рассмотрим теперь некоторые следствия из постулатов, принятых Эйнштейном в специальной теории относительности. Первое следствие формулируется так: два наблюдателя, один из которых движется равномерно (со скоростью v) и прямолинейно относительно другого, разойдутся во мнении относительно одновременности событий. Рассмотрим пример из нашей обыденной «земной» жизни.

Предположим, что пассажир, находящийся в середине длинного быстро мчащегося поезда, видит одновременно две вспышки света: одну из головного, а другую из хвостового вагона. Наблюдатель, стоящий на насыпи рядом с железнодорожным полотном посредине между головным и хвостовым вагонами, также увидит две вспышки, но не одновременно. Вспышка, созданная источником света в хвостовом вагоне, достигнет этого наблюдателя раньше. Возникает вопрос: одновременно ли произошли эти вспышки?

Оба наблюдателя согласятся, что вспышки произошли не одновременно. Наблюдатель на земле объяснит это так: поскольку он находился на равном расстоянии между двумя источниками света, оба световых сигнала (вспышки) должны были пройти, одинаковые расстояния, но так как наблюдатель на насыпи увидел сначала вспышку от источника света в хвостовом вагоне, она была испущена раньше. Наблюдатель-пассажир стал бы рассуждать со своей точки зрения. Скорость, с которой распространялся к нему свет от источника в хвостовом вагоне, равна скорости света минус скорость поезда. А скорость света от источника в головном вагоне относительно наблюдателя-пассажира равна скорости света плюс скорость поезда. Оба световых сигнала (вспышки) должны пройти половину длины поезда, чтобы пассажир мог увидеть их. И поскольку сигнал от источника света в хвостовом вагоне (распространяясь с меньшей скоростью) идет дольше, он должен быть испущен раньше, если пассажир увидел обе вспышки одновременно. Казалось бы, все ясно.

Никаких разногласий между нашими наблюдателями по поводу того, какая из вспышек света произошла раньше, не возникает, так как они оба полагают, что наблюдатель на земле покоится, а наблюдатель в поезде движется относительно эфира. Но пусть теперь наблюдатель в поезде посмотрит на происходящее иначе, предположив, что поезд покоится относительно эфира, а Земля движется в направлении от головы к хвосту поезда. Исходя из этого, пассажир вполне резонно заключит, что, поскольку обе вспышки он видит одновременно, они испущены одновременно. Наблюдатель на земле, несомненно, предпочтет остаться при своей прежней точке зрения, утверждая, что он сам и Земля покоятся относительно эфира и вспышка света в заднем вагоне произошла первой. Как видим, на этот раз мнения наблюдателей относительно того, какая вспышка была первой, расходятся, ибо они по-разному судят о том, кто же из них покоится относительно эфира. Так кто же?

К сожалению, у наблюдателя-пассажира ровно столько же оснований считать, что поезд покоится относительно эфира, сколько у наблюдателя на земле полагать, что относительно эфира покоится наша планета, ибо, как показал эксперимент Майкельсона — Морли, невозможно обнаружить никаких признаков движения через эфир. Следовательно, два наблюдателя, движущиеся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, непременно должны расходиться во мнениях по поводу одновременности двух событий.

Но коль скоро оба наблюдателя не согласны в оценке одновременности двух событий, они должны также получить различные результаты при измерении расстояний. Предположим, два наблюдателя — один на Марсе, другой на Земле — договариваются измерить расстояние от Земли до Солнца. Так как это расстояние изменяется в зависимости от времени, наблюдатели должны измерять его в какой-то заранее выбранный момент времени. Но чтобы оба наблюдателя могли прийти к соглашению о выборе момента времени, им необходимо договориться о том, как понимать одновременность событий, например боя часов, отмечающих выбранный момент времени. А поскольку два наблюдателя движутся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, они не в состоянии прийти к единому мнению относительно одновременности событий и, следовательно, измеренные ими «в данный момент времени» расстояния Земля — Солнце окажутся различными.

Даже характер траектории, описываемой телом, зависит от наблюдателя. Рассмотрим такой простой пример. Пассажиру поезда, движущегося равномерно и прямолинейно, будет казаться, что камень, выпущенный из рук, падает по прямой, а с точки зрения наблюдателя на земле тот же камень описывает параболическую траекторию. Иначе говоря, вид траектории изменяется в зависимости от положения наблюдателя.

Два наблюдателя, движущиеся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, разойдутся во мнениях не только при измерениях расстояний, но и при измерениях продолжительности промежутков времени. В противном случае наблюдатели должны были бы прийти к согласию относительно событий, отмечающих начало и конец временного интервала.

Но выводы, которые извлек из своих постулатов Эйнштейн, далеко не исчерпываются этим. Если один наблюдатель неподвижен, а другой движется относительно него с постоянной скоростью v в заданном направлении (как, например, наблюдатель в поезде), то длина отрезка в движущейся вместе со вторым наблюдателем системе отсчета по измерениям неподвижного наблюдателя окажется короче, чем по измерениям движущегося наблюдателя, и наоборот. Что касается времени, то неподвижному наблюдателю кажется, что наблюдатель, движущийся, например, относительно Земли, перемещается медленнее. Сигара движущегося наблюдателя кажется неподвижному наблюдателю короче, чем его собственная. Иначе говоря, часы в системе отсчета S' покоятся в этой системе. При наблюдении из другой системы отсчета S часы в системе отсчета S' замедляют свой ход на (1 − 1/β) за секунду, где β = √(1 − v2/c2). Верно и обратное. В общем случае соотношение между двумя системами отсчета задается преобразованием Лоренца. Кроме того, невозможно отделить измерение пространства от измерения времени (если не считать наблюдателя, производящего измерения в своей собственной системе отсчета), подобно тому как мы не можем отделить одновременно для всех наблюдателей горизонтальное направление от вертикального.

Следует подчеркнуть, что, говоря о различии в результатах измерений длины, производимых различными наблюдателями, мы отнюдь не имеем в виду эффект влияния расстояния на их зрительное восприятие или какие-либо оптические иллюзии. Равным образом, говоря о расхождении в оценках наблюдателями продолжительности временных интервалов, мы никак не связываем это с психологическими или эмоциональными эффектами.

Рассмотрим численный пример. Наблюдателю на Земле космический корабль, летящий с околосветовой скоростью 270 000 км/с относительно Земли, покажется вдвое короче, чем наблюдателю на борту корабля. Часы, находящиеся на борту этого космического корабля, будут казаться земному наблюдателю идущими вдвое медленнее, чем наблюдателю на борту космического корабля. К аналогичным заключениям наблюдатель, находящийся на борту космического корабля, придет относительно размеров объектов и продолжительности событий на Земле. Более того, каждый набор измерений правилен, но в своем собственном пространстве и времени.

В концепции локальной длины и локального времени заключается одно из принципиально новых положений специальной теории относительности. Их необычность не должна скрывать от нас то, что они гораздо лучше согласуются с экспериментом и приведенными выше рассуждениями по поводу одновременности событий, чем ньютоновские понятия абсолютного пространства и времени. Впрочем, если бы дело обстояло иначе, то, какими бы ни были понятия специальной теории относительности, относительными или абсолютными, никто из ученых не стал бы их придерживаться. Соотношения между длиной и продолжительностью временного интервала, измеряемыми одним наблюдателем, движущимся относительно другого равномерно и прямолинейно со скоростью v, могут быть выведены из преобразования Лоренца.

Еще одно следствие из постулатов специальной теории относительности касается сложения скоростей. Предположим, что в стоячей воде лодка движется со скоростью 6 км/ч, а скорость течения равна 2 км/ч. Можно ли утверждать, что вниз по течению лодка будет плыть со скоростью 8 км/ч? Нет, специальная теория относительности приводит к иному ответу. Скорость V, при сложении скоростей u и v определяется по формуле

Небезынтересно отметить одно следствие из этой формулы: если u = c, то V = c.

Но, возможно, самое необычное следствие специальной теории относительности касается массы движущегося тела; оно гласит, что масса любого объекта увеличивается со скоростью. Зависимость массы от скорости Эйнштейн рассмотрел в четвертой из своих статей, опубликованных в 1905 г. Если m — масса тела, покоящегося относительно наблюдателя, а M — масса того же тела, движущегося со скоростью v относительно наблюдателя, то они связаны зависимостью (1):

Возможно ли подобное? Ведь когда скорость тела возрастает, число молекул в нем отнюдь не увеличивается. Ответ на этот вопрос поистине удивителен. Можно показать, что с вполне удовлетворительной точностью приращение массы тела равно кинетической энергии его массы покоя, деленной на c2. Грубо говоря, приращение массы тела эквивалентно его кинетической энергии. Можно сказать, что движущаяся масса ведет себя так, как будто она увеличивается, но физически это увеличение сводится к энергии тела.

Хотя взаимосвязь массы и энергии на первый взгляд может показаться невероятной, на самом деле мы сталкиваемся с этим в повседневной жизни. Рассмотрим сначала явление превращения массы в энергию. Так, когда мы пользуемся карманным фонариком, мы по существу превращаем массу вещества, заключенного в батарейках, в световое излучение, обладающее определенной энергией. Свет может привести во вращение крыльчатку игрушечного радиометра. Ясно, что световое излучение обладает массой, которая, ударяясь о крылышки радиометра, заставляет их вращаться. Мы сжигаем мазут в отопительных системах, сжигаем бензин в моторах автомобилей, чтобы привести их в действие. И в том и в другом случае мы превращаем массу в энергию, как и сжигая дрова для обогрева своего жилища, ибо тепло — одна из форм энергии. Солнечный свет является основным источником энергии на Земле. Растения превращают его в химическую энергию. В процессе фотосинтеза, происходящего в листьях зеленых растений, энергия солнечного света поглощается и используется для превращения воды, диоксида углерода (углекислого газа) и минералов в органические соединения, богатые кислородом и энергией.

Эйнштейн высказал предположение, что увеличение массы можно было бы наблюдать на частицах, испускаемых при радиоактивном распаде, например на β-частицах (электронах), если разогнать их до высоких скоростей. Это предсказание Эйнштейна получило экспериментальное подтверждение. Нечто похожее происходит, когда мы нагреваем массу, тем самым подводя к ней энергию: масса увеличивается.

К счастью или несчастью, существует и обратный процесс. Частица вещества теряет часть своей массы, отдав соответствующее количество энергии. Частицу можно замедлить, вынуждая ее расходовать массу и тем самым энергию. К поистине трагическим последствиям может привести огромное количество энергии, выделяющейся в виде излучения при делении атомного ядра или при термоядерном синтезе (в первом случае суммарная масса осколков деления меньше массы исходного ядра, во втором — масса продуктов реакции меньше массы исходных частиц). В превращении образовавшегося «дефекта массы» в энергию и состоит принцип действия атомной и водородной бомб.

Эквивалентность массы и энергии можно понять, если задуматься над тем, как ведет себя масса. Самое фундаментальное свойство массы — ее инерция, способность сопротивляться изменению скорости. Чтобы увеличить скорость тела, необходимо сообщить ему энергию. Чем выше скорость, тем больше энергии требуется для того, чтобы ее изменить. При увеличении скорости тело [по формуле (1)] приобретает также дополнительную инерцию, или массу. Путем несложных вычислений нетрудно показать, что

M = m + 1/2∙m∙(v2/c2). (2)

Равенство (2) не точное, а приближенное. Второй член в правой его части есть кинетическая энергия, деленная на c2. Таким образом, добавкой к массе покоя служит кинетическая энергия. Совершенно несущественно, как это выразить: масса возрастает со скоростью; энергия обладает массой или эквивалентна массе; энергия приводит к увеличению массы и т.д. К подобному же результату приводит увеличение энергии любого вида, не обязательно кинетической. Меняется лишь инерция вещества, более богатого энергией.

Однако Эйнштейн пошел гораздо дальше, показав, что когда тело покоится, его энергия E0 численно равна mc2, где m — масса покоя тела. Затем Эйнштейн принял соотношение (1) за формулу, определяющую массу тела, движущегося со скоростью v. В действительности, обобщив и расширив свои рассуждения, он показал, что соотношение E = mc2 остается в силе и в том случае, когда E означает полную энергию массы m, а не только массы покоя (в наших обозначениях E = Mc2). Эйнштейн также показал, что излучению с энергией E следует приписать инерцию, которой обладает масса, эквивалентная E/c2. Эти заключения не следовали непосредственно из специальной теории относительности, но находились в согласии с ней. В книге «Сущность теории относительности» Эйнштейн сформулировал итог своих рассуждений следующим способом: «Таким образом, масса и энергия сходны по существу — это только различные выражения одного и того же. Масса тела не постоянна; она меняется вместе с его энергией» ([7], т. 2, с. 87).

В нашем повседневном опыте укоренилось весьма искусственное различие между массой и энергией. Они измеряются в различных единицах, например в граммах и джоулях соответственно, и энергия E эквивалентна массе, численно равной E/c2 где c2 — скорость света в выбранных единицах. Однако ныне мы яснее, чем когда-либо, понимаем, что масса и энергия — всего лишь два способа измерения одной и той же физической сущности. Если кто и возражает против их отождествления, подчеркивая, что речь идет о разных свойствах, то не следует все же забывать об одном немаловажном обстоятельстве: и масса, и энергий в соотношении E = mc2 отнюдь не свойства, которые мы воспринимаем непосредственно нашими органами чувств, а математические термины, выражающие комбинацию таких свойств, а именно обычной массы и обычной скорости.

Хотя Эйнштейн продолжал размышлять на темы механики, теории электромагнетизма и других областей физики, на его работы в более поздний период сильное влияние оказали идеи Германа Минковского (1864-1909), одного из ведущих профессоров Цюрихского политехникума в период обучения там Эйнштейна. Выступая в 1908 г. с докладом «Пространство и время», Минковский, в частности, сказал:

Воззрения на пространство и время, которые я намерен перед вами развить, возникли на экспериментально-физической основе. В этом их сила. Их тенденция радикальна. Отныне пространство само по себе и время само по себе должны обратиться в функции и лишь некоторый вид соединения обоих должен еще сохранить самостоятельность.

([25], с. 181.)

Правда, признавал Минковский, мы нашли спасательное убежище в понятии непрерывно текущего времени, независимом от понятия пространства. Однако при наблюдении явлений природы мы воспринимаем время и пространство не порознь, а вместе, одновременно. Более того, время всегда измерялось по пространственным ориентирам, например по расстоянию, проходимому стрелками часов, или по движению маятника в пространстве. Вместе с тем наши методы измерения пространства с необходимостью включают в себя время. Даже при простейшем методе измерения расстояний — с помощью линейки — время безостановочно течет. Следовательно, естественный взгляд на события должен приводить к рассмотрению комбинации пространства и времени; мир представляет собой четырехмерный пространственно-временной континуум.

Известно, что при измерении пространственных и временной компонентов пространственно-временного интервала между двумя событиями различные наблюдатели могут получать разные результаты, но это не удивительно, если рассматривать трехмерное пространство само по себе. Два наблюдателя в различных точках земного шара видят одно и то же трехмерное пространство, но, основываясь на собственном опыте, каждый из них выделяет вертикальное и горизонтальное направления, отличные от вертикального и горизонтального направлений другого наблюдателя. Тем не менее мы продолжаем считать пространство трехмерным, а не рассматривать его как некую искусственную комбинацию протяженности по вертикали и горизонтали. Аналогичным образом различные наблюдатели могут по-разному разлагать пространство-время на пространственную и временную составляющие. Такое разложение столь же реально и необходимо для того, кто его производит, как и различие между горизонтальным и вертикальным направлениями для спускающегося по лестнице. Различие между тем и другим привносим мы, люди, — природа же предъявляет нам пространство и время не порознь, а вместе. В действительности в повседневной жизни мы иногда смешиваем пространство и время. Мы говорим, что звезда находится от нас на расстоянии стольких-то световых лет. Это означает, что звезда находится от нас на расстоянии, которое свет проходит за указанное время. Железнодорожное расписание также представляет собой комбинацию положения в пространстве и времени.

Эйнштейн развил идею Минковского о том, что Вселенную следует рассматривать как четырехмерный пространственно-временной мир, но эти поистине поразительные новшества специальной теории относительности Эйнштейна не позволили разрешить все трудности, перечисленные нами в предыдущей главе. По-прежнему не было никакой ясности относительно того, каким образом гравитация удерживает различные тела на поверхности Земли и планеты на их орбитах или почему в данной точке земного шара отношение массы и веса всегда должно быть постоянно.

Эйнштейн предпринял также попытку распространить специальную теорию относительности на такие системы отсчета, которые движутся относительно друг друга ускоренно. Путеводная нить к более общему варианту теории относительности была найдена в 1907 г., когда Эйнштейн, размышляя над проблемами гравитации, осознал, что так называемая гравитационная масса неотличима от массы инерциальной. Что заставило ученых ввести различие между гравитационной и инерциальной массами? Согласно первому закону Ньютона, изменить состояние движения тела можно, приложив к нему силу. Если масса тела равна m, то, чтобы сообщить ему ускорение a, нужно приложить (по второму закону Ньютона) силу F = ma. Здесь m — инерциальная масса. Если мы стукнем кием по бильярдному шару на столе, приведя шар в движение, то ускоряемая масса есть масса инерциальная. Но если мы возьмем бильярдный шар в руку и выпустим его, то он упадет, поскольку масса Земли притягивает массу шара. В этом падении участвует уже гравитационная масса (вес). Совпадают ли инерциальная и гравитационная массы? Этот вопрос не беспокоил последователей Ньютона, но в связи с совершенно новыми проблемами, касающимися массы даже в специальной теории относительности, не мог не занимать Эйнштейна. И он пришел к следующему выводу: гравитационная масса эквивалентна инерциальной и гравитационная масса есть не что иное, как инерциальная масса в пространстве-времени совершенно нового типа.

Чтобы лучше понять ход рассуждений Эйнштейна, рассмотрим пример: пассажир свободно падающей (например, из-за обрыва троса) кабины лифта. В таком случае пассажир не испытывает действия силы тяжести. Действительно, он не давит на пол кабины и не имеет веса. Если, находясь внутри падающей кабины лифта, пассажир уронит носовой платок или наручные часы, то эти предметы будут падать. Но кабина также падает, поэтому и платок, и часы останутся (относительно кабины) в той точке пространства, где их выпустили. Внутри кабины лифта важна только инерциальная масса. Но для внешнего наблюдателя существует сила тяжести, действующая на кабину и находящиеся внутри нее предметы.

Обобщая, можно сказать, что все наблюдения, производимые локально над системой, на которую действует однородная статическая сила тяжести, будут такими, как если бы система двигалась равноускоренно. Ускорение и сила тяжести эквивалентны. В этом и состоит смысл сформулированного Эйнштейном принципа эквивалентности. Иначе говоря, этот принцип означает, что наблюдатель, падающий в гравитационном поле, будет испытывать то же, что и наблюдатель, находящийся в области пространства, полностью экранированной от гравитационного поля, если он движется с ускорением, равным ускорению свободного падения.

Под влиянием идей Минковского о пространстве-времени, своих собственных размышлений относительно инерциальной и гравитационной масс и побуждаемый желанием распространить специальную теорию относительности на системы отсчета, движущиеся ускоренно, Эйнштейн пришел к идее искривленного пространства-времени. Неоднородность реального гравитационного поля не позволяет заменить его единой ускоренной системой отсчета в большой области пространства. Поэтому Эйнштейн воспользовался идеями Римана и Клиффорда (хотя о последнем он, возможно, не знал), которые полагали, что распределение материи в пространстве-времени может быть учтено в геометрической структуре последнего.

«Увидеть», как выглядит эйнштейновское четырехмерное искривленное пространство-время, мы не в силах, но, воспользовавшись аналогией, все же можем в какой-то степени интуитивно представить его. Рассмотрим форму Земли. Хотя для многих целей вполне достаточно считать, что Земля имеет форму шара, в действительности это не так. На поверхности Земли есть горы, долины, ущелья. Какую форму имеют геодезические, или кратчайшие пути, на такой поверхности, заполненной материей? Ясно, что они изменяются в зависимости от формы поверхности и при переходе от одной области к другой.

В свою общую теорию относительности Эйнштейн включил принцип эквивалентности. В ее математическом пространстве-времени любая масса «искажает», или «деформирует», вокруг себя область пространства-времени так, что все движущиеся в этой области объекты следуют по одним и тем же искривленным траекториям, или геодезическим. На языке классической физики можно сказать, что эти объекты движутся ускоренно, так как на них действует некоторая сила — тяготение. Но в общей теории относительности ускорение обусловлено самими свойствами пространства-времени. Следовательно, оно одинаковым образом действует на все инерциальные массы, и принцип эквивалентности выполняется автоматически.

Однако основная идея общей теории относительности Эйнштейна состоит в том, что геометрия пространства-времени учитывает распределение материи, а гравитация в ней исключается. (Строго говоря, геометрия пространства-времени должна отражать распределение всего вещества, в том числе и вещества, содержащегося в движущихся телах. Однако если количество вещества в движущемся теле мало, то им можно пренебречь. Это в полной мере относится и к планетам.) Планеты и свет, распространяющийся от Солнца к Земле, следуют по траекториям, форма которых определяется структурой четырехмерного пространства-времени. И планеты и свет в свободном движении (т.е. в отсутствие каких бы то ни было сил) следуют по траекториям, которые являются геодезическими, или кратчайшими путями, подобно тому как свет следует по кратчайшему пути в ньютоновской механике (кратчайшие пути избирают все тела, на которые не действует гравитация). Локально пространство-время общей теории относительности совпадает с пространством-временем специальной теории относительности, и все выводы последней переносятся на общую теорию относительности.

Объяснение в рамках геометрии пространства-времени эффектов, которые ранее было принято считать гравитационными, позволило решить еще одну прежде не разрешимую проблему, а именно: постоянство отношения веса к массе для всех тел на поверхности Земли и вблизи нее. При интерпретации в духе классической физики это постоянное отношение есть ускорение, с которым все тела падают на Землю. В механике Ньютона ускорение свободного падения обусловлено силой гравитационного притяжения, с которой Земля действует на все тела. Таким образом, постоянство отношения веса к массе означает, что тела любой массы в свободном падении на Землю ведут себя одинаково и в пространстве, и во времени. Но в новой формулировке явления гравитации, предложенной Эйнштейном, то, что прежде считалось силой тяжести, обусловленной притяжением Земли, стало следствием геометрии пространства-времени вблизи земной поверхности. Тогда первый закон Ньютона в его видоизмененной формулировке звучит так: все свободно подающие массы должны двигаться по геодезическим пространства-времени. Иначе говоря, пространственно-временное поведение всех масс вблизи поверхности Земли должно быть одинаковым, и оно действительно таково. Таким образом, общая теория относительности решает проблему, касающуюся постоянного отношения веса к массе, исключая вес как научное понятие и давая более удовлетворительное объяснение эффектам, которые ранее приписывались действию силы тяжести.

Эйнштейн столкнулся с еще одной проблемой. Все мы — наблюдатели в пространстве-времени, и каждый из нас формулирует законы пространства-времени в своей собственной системе координат. Необходимо было удостовериться в том, что законы остаются одинаковыми для всех наблюдателей. Для этого Эйнштейну было необходимо сформулировать эти законы так, чтобы они сохраняли свой вид при преобразовании из системы координат одного наблюдателя в систему координат другого. Перед Эйнштейном встала чисто математическая проблема. Он обсудил ее со своим коллегой Георгом Пиком, который обратил внимание Эйнштейна на тензорный анализ, развитый Бернхардом Риманом, Элвином Бруно Кристоффелем, Джорджо Риччи-Курбастро и его знаменитым учеником Туллио Леви-Чивитой. Эйнштейн обратился за помощью к другому своему коллеге в Цюрихе, специалисту по дифференциальной геометрии Марселю Гроссману (1878-1936), и тот познакомил его с тензорным анализом. В 1913-1914 гг. Гроссман и Эйнштейн выпустили три совместные работы. В последующие годы Эйнштейн настолько овладел математическим аппаратом, что мог свободно пользоваться римановой геометрией и тензорным анализом для формулировки общей теории относительности и описания того, каким образом преобразуются законы при переходе из одной системы координат в другую. Эйнштейн прекрасно понимал, сколь многим он обязан создателям тензорного анализа. В 1915 г. Эйнштейн написал четыре работы по общей теории относительности, решающая из которых датирована 25 ноября 1915 г. В ней говорится, что записанные в тензорных обозначениях законы природы сохраняют одну и ту же форму во всех математически приемлемых системах координат.

В свое время общая теория относительности казалась весьма необычной и резко отличалась от других физических теорий. Что же все-таки побудило физиков-теоретиков принять ее?

Основываясь на своей теории, Эйнштейн предсказал три природных явления. Перигелием называется точка планетной орбиты, ближайшая к Солнцу. Согласно механике Ньютона, перигелий самой внутренней (ближайшей к Солнцу) планеты, Меркурия, должен менять из года в год свое положение на величину, отличающуюся от наблюдаемой примерно на 5600'' (дуговых секунд) за столетие (одна дуговая секунда равна 1/3600 градуса). Значительная часть этого отклонения (примерно 5000'' за столетие) обусловлена тем, что мы производим свои наблюдения с движущейся Земли. В 1856 г. Леверье показал, что часть отклонения (около 531'' за столетие) обусловлена притяжением других планет. Остальную часть отклонения так и не удавалось объяснить до тех пор, пока Эйнштейн в 1915 г. не попытался сделать это, исходя из общей теории относительности. С того момента было произведено множество наблюдений, что позволило гораздо точнее измерить смещение перигелия Меркурия. Но вычисление всех поправок осложняется тем, что движущаяся планета сама создает определенные возмущения в кривизне пространства-времени.

Эйнштейн высказал также предположение, что свет далекой звезды, проходя вблизи Солнца, должен отклоняться, и оценил величину отклонения. До Эйнштейна было известно, что свет (который, как предполагалось, обладает массой) отклоняется гравитационным полем (в данном случае полем Солнца). По оценкам отклонение луча, проходящего у края солнечного диска, должно было составлять 0,87''. Эйнштейн получил величину отклонения 1,75''. Наблюдения, произведенные во время солнечного затмения в 1919 г., подтвердили предсказание Эйнштейна. Сравнивая положения звезд на фотографиях, сделанных за пять месяцев до солнечного затмения (когда звезды в ночном небе были далеко от Солнца), и фотографиях, заснятых в момент солнечного затмения, Артур Стенли Эддингтон показал, что величина наблюдаемого отклонения согласуется с оценкой Эйнштейна (рис. 37). Этот результат, полученный вскоре после опубликования общей теории относительности, возможно, в большей мере, чем что-либо иное способствовал признанию идей Эйнштейна.

Рис. 37.

Эйнштейн предсказал еще одно явление. Атомы, в особенности атомы газов, при нагревании обычно испускают световое излучение нескольких частот (иногда в широком интервале частот). Эйнштейн высказал соображение, что частоты излучения атомов, находящихся в различных областях гравитационного поля Солнца, должны отличаться (как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения) от частот, на которых излучают те же атомы на Земле. Изменения в частоте колебаний атомов газа физически проявляются в смещении цветов (спектра) солнечного излучения, приходящего на Землю. С Земли излучение атомов, находящихся вблизи Солнца, будет казаться краснее, т.е. все длины волн сдвинутся к красному концу спектра. Предсказанное Эйнштейном красное смещение было обнаружено экспериментально. [В частности, для белого карлика Сириус В. — Ред.]

Получив несомненные экспериментальные подтверждения, общая теория относительности, казалось бы, значительно укрепила свои позиции. Кроме того, теория Эйнштейна в качестве первого приближения включала и теорию Ньютона, что могло служить еще одним подтверждением ее справедливости. Но, говоря об успехах общей теории относительности, не следует забывать об одной на первый взгляд несущественной детали: во всех описанных нами экспериментах измерению подлежали очень слабо выраженные эффекты. Но Эйнштейн был уверен в правильности специальной и общей теорий относительности еще до того, как они прошли экспериментальную проверку.

Ныне специальная и общая теории относительности не просто составляют неотъемлемую часть нашего научного знания — в том, что касается широты охватываемых ими явлений, они дают нам наиболее точное представление об окружающем нас физическом мире. Означает ли это, что мы должны безоговорочно принять их? В частности, должны ли мы согласиться с тем, что одновременность событий, длины отрезков и продолжительность промежутков времени зависят от наблюдателя? От этих вопросов можно было отмахнуться в прошлом, поскольку значительные расхождения в результатах, полученных различными наблюдателями, обнаруживаются только при очень больших скоростях движения одного наблюдателя относительно другого. Но теперь, когда люди побывали на Луне и направили космические аппараты к Сатурну и далее к Нептуну, когда космические полеты, несомненно, будут совершаться на все более далекие расстояния, нам приходится иметь дело отнюдь не с малыми скоростями.

Несмотря на поразительные и впечатляющие экспериментальные подтверждения теории относительности, многим людям трудно воспринимать ее четырехмерный неевклидов мир. Представить себе наглядно такой четырехмерный мир действительно невозможно, но тот, кто требует наглядности от понятий современной физики и математики, находится в своем научном развитии на уровне средневековья. С давних времен, когда математики только начинали оперировать числами, они упорно развивали алгебраический подход, не зависящий от чувственного опыта. Ныне математики вполне сознательно строят и применяют геометрии, которые существуют только в человеческом разуме и никогда не предназначались для наглядной интерпретации. Не следует думать, однако, будто современные математики отвергают всякую связь с чувственным восприятием. Представления о физическом мире, сформированные на основе геометрических и алгебраических соображений, должны соответствовать наблюдениям и экспериментам, если мы хотим, чтобы логическая структура наших умозрительных построений была полезна для физики. Но настаивать на том, чтобы каждый шаг в цепи геометрического рассуждения непременно чему-нибудь соответствовал в нашем чувственном опыте, — это значит лишать математику и естествознание двух тысячелетий истории их развития.

Вспомним, как некогда люди реагировали на то, что Земля круглая, а позднее на то, что Земля обращается вокруг Солнца. Наш чувственный опыт не согласуется ни с одним из этих фактов. Тем с большим доверием должны мы воспринимать релятивистские понятия времени, одновременности, пространства и массы. Теория относительности предостерегает нас против того, чтобы явления, наблюдаемые в некоторой выделенной системе отсчета, мы принимали за истину в абсолютном смысле. Что есть истина об окружающем нас мире и что реально объективно в других физических областях — об этом говорят нам математические законы. Природе нет дела до наших впечатлений. Она следует своим курсом независимо от того, постигаем ли мы его.

Теория относительности объединила пространство и время в четырехмерный континуум, она показала, какое влияние оказывает распределение материи на геометрию пространства-времени. Эти идеи, столь чуждые философам начала нашего столетия, ныне все шире проникают в философские концепции мира. Природа предстает перед нами как органически целое, где неразрывно слиты пространство, время и материя. В прошлом люди, анализируя природу, выделяли некоторые ее свойства, казавшиеся им особенно важными, и воспринимали их как вполне самостоятельные сущности, забывая о том, что эти свойства абстрагированы от целого. Ныне люди с удивлением узнают, что казавшиеся ранее не связанными между собой понятия необходимо вновь собрать в единое целое, чтобы достичь непротиворечивого, удовлетворительного синтеза знания.

Аристотель первым создал философское учение, провозгласившее, что пространство, время и материя суть различные компоненты опыта. Впоследствии эту точку зрения восприняли естествоиспытатели. Разделял ее и Ньютон. Следуя Аристотелю, мы настолько привыкли мыслить пространство и время как фундаментальные и различные компоненты нашего физического мира, существующие независимо и отдельно от материи, что перестали сознавать «рукотворный» характер подобного взгляда на природу и забыли, что это лишь один из возможных взглядов. Надо сказать, что современные философы и среди них Алфред Норт Уайтхед отнюдь не считали такое аналитическое расчленение природы на составные части бесполезным. Наоборот, подобный подход оказался весьма ценным и даже существенным. Однако мы должны отчетливо сознавать его искусственный характер и не смешивать вычленяемые нами компоненты природы с самой природой подобно тому, как мы не принимаем органы, наблюдаемые при вскрытии в анатомическом театре, за живое человеческое тело.

Теперь мы в состоянии оценить, сколь велика та часть нашей физической науки, которая была математизирована в форме геометрии. Со времен Евклида законы физического пространства были всего лишь теоремами евклидовой геометрии и ничем больше. Гиппарх, Птолемей, Коперник и Кеплер сформулировали основные свойства движений небесных тел в геометрических терминах. С помощью телескопа Галилей распространил применение геометрии на бесконечное пространство и многие миллионы небесных тел. Когда Лобачевский, Бойаи и Риман показали, как строить иные геометрические миры, Эйнштейн подхватил их идеи, превратив наш физический мир в четырехмерный, математический. Гравитация, время и материя наряду с пространством стали компонентами геометрической структуры четырехмерного пространства-времени. Так, уверенность древних греков в том, что реальный мир удобнее и понятнее всего выражать через его геометрические свойства, и проникнутое духом эпохи Возрождения учение Декарта о том, что феномены материи и движения легко объяснить через геометрию пространства, получили убедительнейшее подтверждение.

<<< |1|…|9|10|11|12|13|14|15|16|17|…|19| >>>
Комментарии: 0