Scisne?

XI. Реальность в теоретической физике / Математика. Поиск истины

Морис Клайн

Комментарии: 0
<<< |1|…|11|12|13|14|15|16|17|18|19| >>>

XI. Реальность в теоретической физике

Мы находимся в положении, несколько аналогичном положению человека, держащего в руках связку ключей и пытающегося открыть одну за другой несколько дверей. Рано или поздно ему всегда удается подобрать ключ к очередной двери, но сомнения относительно взаимно однозначного соответствия между ключами и дверями у него остаются. [Вигнер Ю. Непостижимая эффективность математики в естественных науках (см. [26], с. 183).]

Юджин Вигнер

Мы начали наше повествование с вопроса: существует ли внешний мир? Несмотря на противоположные утверждения Беркли и различные варианты их, высказанные другими философами, мы отвечаем на этот вопрос утвердительно. Однако наше чувственное восприятие мира не только ограниченно, но и способно вводить в заблуждение. Не многим полезнее оказывается и наша интуиция, даже обостренная опытом. Поэтому при всей искусственности математики мы вынуждены прибегать к ней, чтобы откорректировать и расширить наши представления о внешнем мире.

В свое время люди приняли идею об обращении Земли вокруг Солнца не потому, что гелиоцентрическая теория оказалась точнее предшествующей ей геоцентрической, а потому, что гелеоцентрическая теория математически проще. Если же подходить с точки зрения чувственного восприятия, то гелиоцентрическая теория заведомо менее правдоподобна.

Чтобы объяснить движения планет по их строго эллиптическим орбитам, Исаак Ньютон вывел закон всемирного тяготения — теорию гравитации, физическую природу которой ни ему самому, ни его преемникам на протяжении последующих трехсот лет объяснить так и не удалось. Чувственное восприятие и в этом случае оказалось бесполезным.

Чисто математические соображения привели Джеймса Клерка Максвелла к выводу о существовании электромагнитных волн, не доступных восприятию ни одного из наших пяти органов чувств. Однако в реальности электромагнитных волн вряд ли приходится сомневаться: любой радио- или телевизионный приемник безоговорочно убеждает нас в их существовании. Максвелл утверждал также, что свет представляет собой разновидность электромагнитных волн и в этом случае можно с полным основанием считать, что покров тайны с этого явления сняла математика.

Невозможность найти абсолютную систему отсчета для описания пространства и времени (вопреки убеждению Ньютона в абсолютности пространства и времени) и стремление «примирить» законы механики Ньютона с теорией электромагнитного поля Максвелла привели Эйнштейна к созданию специальной теории относительности. Сущность ее в несколько вольной формулировке сводится к утверждению, что длина, масса, время и одновременность определяемы не абсолютно, а только относительно наблюдателя. Экспериментальные подтверждения специальной теории относительности вынуждают нас принять эти ее выводы как твердо установленные факты. Общей теории относительности удалось объяснить явление тяготения, не прибегая к загадочной гравитации, что побуждает нас с большим доверием относиться к ней. Нашу уверенность в справедливости этой теории укрепляет и экспериментальное подтверждение сделанных на ее основе предсказаний.

Квантовая теория, занимающаяся изучением структуры атома, сама почти провоцирует нас на недоверие к ней. Явления, которые она рассматривает, мы не можем наблюдать непосредственно. Нам остается лишь судить о них по производимым ими эффектам. Разумеется, нелегко поверить, что испускаемые атомами электроны ведут себя не как частицы, а как волны, но вместе с тем их можно интерпретировать и как частицы, поведение которых имеет вероятностный характер: утверждение о том, что электрон в данный момент времени находится в определенной точке пространства, не достоверно, а справедливо лишь с определенной вероятностью. Тот факт, что микромир «населен» множеством частиц и античастиц, практически все из которых обладают отличной от нуля вероятностью распада, приводит нас к заключению, в которое трудно поверить: во внешнем мире не существует абсолютно стабильной, прочной и неразрушимой материальной субстанции.

Главы, в которых мы рассматривали теоретическую (математическую) физику, естественно, не охватывают всех ее достижений. Такая, например, область физической науки, как гидродинамика, также использует математические методы при изучении поведения воды, газов и других жидкостей, но не приводит ни к каким неожиданным выводам относительно реальности. Наша физическая интуиция вполне позволяет нам предвидеть результаты гидродинамических исследований. Иное дело электромагнитные и квантовые явления. Они либо противоречат нашему чувственному опыту, либо обнаруживают зияющий пробел в знаниях, приобретенных на основе этого опыта.

Наше современное понимание реальности разительно отличается от концепций реальности предшествующих поколений, будь то последователи Аристотеля или представители математической физики XVII-XVIII вв. По мере того как законы механики и всемирного тяготения распространялись на все новые явления, а планеты, кометы и звезды продолжали неукоснительно следовать путями, столь точно описанными математикой, мысли Декарта, Галилея и Ньютона о том, что Вселенную можно описать, пользуясь понятиями массы, силы и движения, все глубже проникали в сознание людей и превратились в убеждение почти каждого мыслящего современного человека.

Беркли в свое время охарактеризовал одно из основных понятий математического анализа — понятие производной — как «призрак покинувших нас величин». Многое в современной физической теории свидетельствует о призрачности былых, казавшихся незыблемыми классических представлений о материи. Но, облекая в математические формулировки законы, которые описывают призрачные «поля-духи», не имеющие наглядных аналогий в реальности, и выводя из этих законов следствия, мы приходим к заключениям, которые при надлежащей физической интерпретации допускают проверку с помощью наших чувственных восприятий.

Этот специфически умозрительный элемент современного естествознания неоднократно подчеркивал Эйнштейн, который, в частности, писал ([7], т. 4):

Согласно ньютоновской системе, физическая реальность характеризуется понятиями пространства, времени, материальной точки и силы (взаимодействия материальных точек)…

(с. 136.)

После Максвелла физическая реальность мыслилась в виде непрерывных, не поддающихся механическому объяснению полей, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных. Это изменение понятия реальности является наиболее глубоким и плодотворным из тех, которые испытала физика со времен Ньютона…

(с. 138.)

Кратко обрисованный здесь взгляд, согласно которому основы научной теории имеют умозрительный характер, еще не был господствующим в XVIII и XIX вв. Но постепенно он получает все более прочную почву, по мере того как в мышлении все более отдаляются друг от друга фундаментальные понятия и законы, с одной стороны, и те выводы, которые должны быть сопоставлены с опытом, с другой, по мере того как унифицируется логическая структура, т.е. по мере уменьшения числа логически независимых друг от друга концептуальных элементов, которые оказываются необходимой опорой всей структуры.

(с. 183.)

Современное естествознание (и в первую очередь физика) вменяет себе в заслугу освобождение от духов, дьяволов, потусторонних сил, мистики и анимизма путем рационального объяснения явлений природы. Мы можем добавить, что современная наука постепенно отошла от интуитивного и физического содержания, которое в равной мере апеллирует к чувствам; она все более исключает из системы своих представлений классический образ материи, прибегая к таким чисто синтетическим идеальным понятиям, как «поля» или «электроны», относительно которых нам известно единственное — математические соотношения, которым они удовлетворяют. С чувственным восприятием наука поддерживает лишь весьма ограниченный, хотя и жизненно важный контакт посредством длинной цепочки математических дедуктивных выводов. Естествознание стало рационализированным вымыслом — рационализированным с помощью математики.

В наши дни естествознание имеет дело с динамической реальностью, которая расширяется и меняется по мере того, как растет и изменяется наше понимание ее. Ныне мы вынуждены признавать реальность объектов и явлений, не доступных непосредственно чувственному восприятию. Чувственное подтверждение более не требуется. Природа богаче, чем говорят о ней наши органы чувств. Здравый смысл не в состоянии подсказать нам наглядные аналоги атомов, электронов, искривленного пространства или электрических полей. Недостаток наглядной модели многие, разумеется, считают существенным, в особенности те, чей опыт ограничен обыденным здравым смыслом и кто вполне естественно стремится строить свои умозаключения лишь на основании собственного опыта.

Усилия, предпринимаемые человеком с целью определить, что есть реальность, ныне учитывают новый фактор — роль наблюдателя. В XIX в. природу еще воспринимали как совокупность явлений, при рассмотрении которых фактом существования человека и его вмешательства в природу можно пренебречь, если не на практике, то по крайней мере в принципе. Но в XX в. от прежних взглядов пришлось отказаться, особенно когда речь идет об атомной и субатомной физике. Реальность элементарных частиц далеко не очевидна. Мы узнаем о них лишь по различного рода взаимодействиям их с измерительными приборами, по «следам», оставленным ими в пузырьковых камерах, на фотоэмульсии или запечатленным на экранах осциллографов, и на основании этого судим о поведении элементарных частиц. Такого рода внешние проявления элементарных процессов имеют ничуть не меньшее значение для их понимания, чем лежащие в основе этих проявлений глубинные процессы. Более того, как заметил Гейзенберг, используемые нами измерительные приборы влияют на истинное физическое поведение микрочастиц. К какой бы картине, корпускулярной или волновой, ни апеллировала классическая механика, неизменно существовала объективная реальность, не зависящая от наблюдателя. Ныне законы физики в большей мере характеризуют наше знание, нежели действительные процессы в физическом мире. Мы наблюдаем эти процессы, производя те или иные действия, математизируем их и делаем соответствующие выводы.

Классическая физика допускает возможность ошибок в измерениях и для их коррекции использует методы математической статистики и теории вероятностей. Однако в классической физике измеряемая величина определена однозначно, т.е. имеет точное значение. Иначе обстоит дело в квантовой механике, где наше представление о событиях формируется только на основе статистических данных. В отличие от классической физики в квантовой механике не предполагается измерительных устройств, разрешение которых можно было бы увеличивать. О существовании частиц в пространстве и времени мы судим по косвенным признакам, Классически понимаемая объективная реальность элементарных частиц странным образом теряется не в тумане какой-то новой плохо определенной или еще не нашедшей своего объяснения концепции реальности, а в прозрачности математических выкладок, описывающих не поведение элементарных частиц, а наше представление о нем.

Исходя из этого, мы приходим к выводу, что реальный мир есть не то, о чем говорят наши органы чувств с их ограниченным восприятием внешнего мира, а скорее то, что говорят нам созданные человеком математические теории, охватывающие достаточно широкий круг явлений. В евклидовой геометрии понятия точки, линии, плоскости и тому подобное — идеализации, но идеализации реальных объектов, и поэтому реальные точки, линии и плоскости мы можем воспринимать как реальность. А что нам делать с гравитационным взаимодействием и электромагнитным излучением? Ведь мы наблюдаем не их самих, а лишь производимые ими эффекты. Но какова физическая реальность, лежащая за пределами математики? Мы не располагаем даже воображаемыми физическими картинами, достаточными для объяснения гравитационного взаимодействия и полей. Трудно, если вообще возможно, избежать вывода: математическим знанием исчерпываются все наши знания относительно различных аспектов реальности.

А сколь реальна математика? Реально ли физически то, что она утверждает относительно реального мира? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к некоторым приложениям математики. Иоганн Кеплер провозгласил, что каждая планета движется вокруг Солнца по эллиптической орбите. Но был ли эллипс именно тем, что искал Кеплер? Разумеется, нет. Кеплер на протяжении нескольких лет безуспешно пытался подобрать кривую, наилучшим образом соответствующую результатам астрономических наблюдений траектории движения Марса, и об эллипсе он подумал потому, что эта кривая была известна в математике. И когда Кеплер обнаружил, что эллиптическая орбита достаточно хорошо согласуется с данными наблюдений и отклонения от орбиты лежат в пределах ошибки наблюдений, то решил, что эллипс и есть точная форма орбиты Марса. Однако в действительности планеты движутся вокруг Солнца не по эллипсам. Если бы в Солнечной системе была одна-единственная планета, которая, как и само Солнце, имела идеально шарообразную форму, то она действительно обращалась бы вокруг Солнца по эллиптической орбите. Но в реальности на любую планету действует не только гравитационное притяжение Солнца — на ее движение влияют другие планеты и их естественные спутники. Поэтому орбита планеты по форме отличается от эллипса. К счастью, астрономические наблюдения Тихо Браге, результатами которых пользовался Кеплер, хотя и превосходили по точности все предшествовавшие наблюдения, но все же были достаточно грубы, и это позволило Кеплеру считать эллипс хорошим приближением к истинной орбите.

В качестве другого примера приложения математики можно привести риманову геометрию и тензорный анализ. Были ли риманова геометрия и тензорный анализ совершенно адекватным математическим аппаратом для общей теории относительности? Скорее всего нет. Есть основания считать, что Эйнштейн просто попытался наилучшим образом распорядиться тем математическим аппаратом, который, по его мнению, соответствовал нуждам теории относительности. Сколь ни остроумен замысел теории относительности, она носит несколько искусственный характер. Вследствие своей чрезмерной сложности теория относительности мало применима при решении астрономических задач. Правильность ее пока подтверждается только тем, сколь точно она предсказала три астрономических явления, о которых мы уже говорили. Если из истории науки можно извлекать какие-то уроки, то следует предполагать, что когда-нибудь на смену общей теории относительности придет более совершенная теория.

Как со всей очевидностью показывают приведенные примеры, математика отнюдь не обязательно говорит истину о реальном мире. Природа не предписывает и не запрещает никаких математических теорий. Теоретическая физика не может не опираться на физические аксиомы (скажем, такие, как закон всемирного тяготения Ньютона). Эти аксиомы могут рассматриваться в качестве обобщения опыта, но подобные обобщения не свободны от ошибок. Различного рода допущения, пусть даже подтвержденные экспериментально, следует осмотрительно использовать для обоснования математических и физических аксиом. Бертран Рассел, подчеркивая это в своей книге «Научное мировоззрение» (1931), приводит следующий пример. Если принять за исходное предположение о том, что хлеб делается из камня и камень съедобен, то, рассуждая логически, можно прийти к выводу, что хлеб съедобен. Полученный вывод подтверждается экспериментально. Однако исходные допущения не становятся от этого менее абсурдными.

С другой стороны, математический аппарат нередко гораздо лучше выдерживает испытание временем, нежели те физические представления, которые он изначально выражал. Жозеф Фурье (1768-1830) разработал полную и подробную математическую теорию теплопроводности (получившую название калорической теории теплоты), в которой теплота рассматривалась как некий флюид. Калорическая теория давно отброшена и забыта. Как сказал Эдмунд Верк, «рациональная гипотеза слишком часто отличается от печального факта». Но предложенный Фурье математический аппарат и поныне находит широкое применение в акустике и других областях физики.

Есть основания сомневаться относительно соответствия того, что говорит нам математика о реальности. Скажем, ученые решают какую-то проблему, но решение не единственно. Пытаясь построить теорию, они хватаются за любой математический аппарат, который позволяет им продвинуться к желанной цели. При этом они используют то, что есть под рукой, подобно тому как человек, взяв топор вместо молотка, может выполнить какую-то работу достаточно хорошо. Вся история физики говорит о том, что на смену старым теориям приходят новые, как, например, на смену ньютоновской механике пришла специальная теория относительности, а старую теорию строения атома заменила квантовая теория. Но теория относительности до сих пор не принесла особой пользы при исследовании Вселенной за пределами Солнечной системы. Несмотря на столь замечательные успехи, как высадка людей на Луну и фотографирование Сатурна, мы не можем утверждать, что все, о чем говорит нам теоретическая физика, опирающаяся преимущественно на математические методы, истинно.

Даже время и пространство (в отличие от массы и силы) мы не воспринимаем непосредственно. Массу мы «ощущаем» как нечто телесное, о силе судим по испытываемому нами мышечному напряжению. Но время и пространство — всего лишь конструкции. Мы наделены способностью воспринимать на чувственном уровне, что такое «здесь», положение, размеры, у нас есть ощущение простора. Все это — чувственные корни нашего представления о пространстве. Представление о времени также опирается на определенную чувственную основу — последовательность событий. Эти фрагментарные аспекты пространства и времени объединены с помощью абстракции. Пространство и время не обязательно должны быть теми краеугольными камнями, на которых мы должны строить наше знание реального мира. Они играют основополагающую роль в теории относительности, но совсем не подходят в качестве фундаментальных понятий для квантовой теории. Даже определение длины требует абсолютно жесткого мерного стержня, который, однако, вполне может оказаться нежестким. Изменение температуры в какой-то части стержня может привести к неконтролируемому изменению его размеров, о котором мы даже не подозреваем. Аналогичным изменениям подвержены также площадь и объем.

Созданная человеком математическая теория физического мира — это не описание явлений в том виде, в каком мы их воспринимаем, а некая символическая конструкция. Математика, сбросившая с себя оковы чувственного опыта, занимается не описанием реальности, а строит модели реальности, предназначенные для объяснения, вычисления и предсказания.

Если примерно до середины XIX в. математический порядок и гармония рассматривались как неотъемлемые черты плана, положенного в основу мироздания, и математики стремились раскрыть этот план, то, согласно более новой точке зрения, к которой они пришли на основе собственных творений, математикам отводится роль своего рода законодателей, решающих, какими должны быть законы мира. Они принимают любой план или любой порядок, позволяющий им описывать ограниченные классы явлений, которые по необъяснимым причинам продолжают подчиняться выведенным ими законам. Означает ли последнее обстоятельство, что существует некий окончательный, или предельный, закон и порядок, к которым математики неуклонно приближаются? Полного ответа на этот вопрос нет, тем не менее вера в математическую первооснову Вселенной должна уступить место сомнению. Разве стихийные бедствия — землетрясения, падение метеоритов на Землю, извержения вулканов, эпидемии, — не разрешенные вопросы космогонии, наше неведение относительно того, что лежит за пределами ближайшей окрестности в нашей собственной Галактике, не говоря уже о множестве других проблем, стоящих перед человечеством, — разве все это не отрицает даже отдаленное подобие существования высшего порядка во Вселенной? То, чего нам удалось достичь с помощью математического описания и предсказания, напоминает удачу человека, случайно нашедшего стодолларовую купюру.

История физики усеяна обломками отвергнутых теорий. Воскресающие время от времени надежды на то, что всю сложность природы удастся «вогнать» в некую конечную систему законов, по-видимому, малооправданны. Было бы безрассудно полагать, будто эти уроки прошлого не повторятся в будущем и что существующие ныне теории выдержат всесокрушающий напор времени и опыта. Наши столь тщательно возведенные системы — всего лишь более или менее полезные модели того, что мы временно принимаем за истину. Ни одна из математических теорий не может претендовать на абсолютное постижение реальности в самой ее сути. Утверждение о том, что физика объективна, тогда как политика и поэзия не объективны, лишено основания. И физика, и поэзия, и политика стремятся к постижению истины, и в этом отношении физик не имеет ни малейших преимуществ перед политиком или поэтом. Однако ничто не может соперничать с физикой в точности и предсказании. В окружающем нас мире существует нечто такое, что математическая теория способна «схватить» и сохранить.

Наша наука о природе — это наши представления о ней и описание ее. Наука стоит между человечеством и природой. Но в свете квантовой теории элементарные частицы не реальны в том смысле, как реальны камни или деревья, а представляются абстракциями, почерпнутыми из реальных результатов наблюдений. Но коль скоро невозможно приписать элементарным частицам существование в самом «подлинном» смысле, рассматривать материю как подлинно реальную становится труднее.

Хотя Блез Паскаль (1623-1662) был убежден в истинности математических законов природы, он все же так охарактеризовал применимость математики: «Истина — слишком тонкая материя, а наши инструменты слишком тупы, чтобы ими можно было прикоснуться к истине, не повредив ее. Достигнув истины, они сминают ее и отклоняются в сторону, скорее ложную, нежели истинную» ([13], с. 374).

Другие пошли еще дальше. П.У. Бриджмен в книге «Логика современной физики» (1946) утверждал: «Чистейший трюизм, истинность которого становится очевидной при самом поверхностном взгляде, состоит в том, что математика изобретена человеком». Но в таком случае математика, как и все, созданное человеком, подвержена ошибкам. Наши достижения в физической теории сводятся к набору математических соотношений, согласующихся с наблюдаемыми явлениями, и предсказаниям, касающимся физических явлений, часть которых, как, например, электромагнитное излучение, недоступна непосредственному наблюдению. Абстрактные рассуждения позволяют нам выйти за рамки представлений, основанных на чувственном восприятии, хотя это не означает, что мы в состоянии полностью освободиться от своего чувственного опыта.

Различные рассуждения на тему о том, в какой степени математика отражает и представляет истину о реальном физическом мире, следует отличать от многочисленных утверждений об истинности самой математики и ее объективной реальности, но не обязательно касающихся отношения математики к реальному миру. Например, Платон в диалоге «Менон» утверждал, что математические конструкции не зависят от опыта и даже предшествуют ему. В существовании математики Платон видел в действительности доказательство существования бессмертной души, ибо, поскольку теоремы невозможно получить из опыта, они должны сопровождать душу при возвращении к истинному бытию. Формулировка новой теоремы по Платону — это акт воспроизведения того, что хранилось в памяти.

Примерно до начала XIX в. подобных взглядов придерживались практически все математики, а некоторые представители математической науки разделяли их и позднее. Уильям Р. Гамильтон (1805-1865) — хотя именно он изобрел тот самый объект (кватернионы), который поставил под сомнение истинность арифметики, — в своих взглядах во многом сходился с Декартом:

Такие чисто математические науки, как алгебра и геометрия, являются науками чистого разума, не подкрепляемыми опытом и не получающими от него помощи, изолированными или могущими быть изолированными от всех внешних и случайных явлений… Вместе с тем это идеи, рожденные внутри нас, обладание которыми в сколько-нибудь ощутимой степени есть следствие нашей врожденной способности, проявления человеческого начала.

([13], с. 371.)

Один из ведущих алгебраистов XIX в. Артур Кэли, выступая с докладом перед Британской ассоциацией поощрения наук (1883), заявил, что «мы… обладаем априорными познаниями, не зависящими не только от того или иного опыта, но абсолютно от всякого опыта… Эти познания составляют вклад нашего разума в интерпретацию опыта».

В то время как одни ученые, подобно Гамильтону и Кэли, считали математику неотъемлемой частью человеческого разума, другим она представлялась существующей в мире вне человека. До начала XX в. существование единственного объективного мира математических истин, не зависящих от человека, ни у кого не вызвало сомнений, и это вполне понятно. Даже Гаусс, первым оценивший значение неевклидовой геометрии, был убежден в истинности понятий числа и математического анализа. Один из выдающихся французских математиков XX в. Жак Адамар (1865-1963) в книге «Исследование психологии процесса изобретения в области математики» утверждал: «Хотя истина еще не известна нам, она предсуществует и неизбежно подсказывает нам путь, которым мы должны следовать». На Международном математическом конгрессе в Болонье (1928) Давид Гильберт вопрошал: «Что было бы с истинностью наших знаний вообще и как обстояло бы дело с существованием и прогрессом науки, если бы даже в математике не было достоверной истины?» ([27], с. 388).

Примерно то же мнение выразил в своей книге «Апология математика» выдающийся аналитик Джефри Г. Харди (1877-1947): «Я убежден в том, что математическая реальность лежит вне нас и наша роль заключается в том, чтобы открывать или наблюдать ее, а теоремы, которые мы доказываем и столь пышно именуем нашими «творениями», в действительности представляют просто записи наших наблюдений». Математики только открывают понятия и их свойства.

Некоторые из приведенных выше высказываний принадлежат мыслителям XX в., не уделявшим особого внимания основаниям математики или вообще не занимавшимся ими. Удивительно, что даже по утверждениям признанных лидеров в области оснований математики, таких как Давид Гильберт, Алонзо Черч и члены группы Бурбаки (см. гл. XII), математические понятия и свойства существуют в некотором смысле объективно и познаваемы человеческим разумом. Таким образом, математическую истину открывают, а не изобретают; поэтому то, что изменяется и эволюционирует, есть не математика, а лишь человеческое знание математики.

Все эти рассуждения о существовании объективного единого «здания» математики ничего не говорят об истинном «местопребывании» ее. Все они сводятся к тому, что эта наука существует в некоем «сверхчеловеческом мире», каком-то воздушном замке, а математики только открывают ее положения. Аксиомы и теоремы не есть лишь творения одного человеческого разума; подобно богатствам, скрытым в земных недрах, их надлежит извлечь на поверхность, терпеливо раскапывая одну за другой. Существование их представляется столь же независящим от человека, как существование планет.

Что же такое математика: россыпь алмазов, скрытых в недрах реального мира и постепенно извлекаемых оттуда, или груда искусственных камней, созданных людьми, столь блестящих, что они своим блеском ослепили иных математиков, которые и без того переполнены гордостью за свои творения?

Другой, восходящей к Аристотелю точки зрения, согласно которой математика всецело является продуктом человеческой мысли, придерживается школа математиков, получивших название интуиционистов. В то время как одни утверждают, что истину гарантирует человеческий разум, другие полагают, что математика — создание склонного к заблуждениям человеческого разума, а не законченный свод знаний.

Герман Ганкель, Рихард Дедекинд и Карл Вейерштрасс считали математику творением человека. В письме к Веберу Дедекинд так говорил о «рукотворности» математики: «По-моему, то, что мы понимаем под числом, само по себе есть не класс, а нечто новое…, созданное нашим разумом. Мы божественная раса и обладаем… способностью творить» ([13], с. 374). Вейерштрасс вторит ему: «Истинный математик всегда поэт» ([13], с. 374). Ученик Рассела, известный философ Людвиг Витгенштейн также считал, что математик — изобретатель, а не открыватель. Эти и многие другие мыслители рассматривали математику как нечто не связанное с эмпирическими открытиями или рациональной дедукцией. Их позиция не лишена оснований: ведь даже такие элементарные понятия, как иррациональные и отрицательные числа, не являются ни дедуктивными следствиями из эмпирически установленных фактов, ни объективными сущностями внешнего мира.

Тех, кто склонен видеть в математике творение человеческого разума, по существу можно отнести к кантианцам, ибо Иммануил Кант видел источник математики в организующей силе человеческого разума. Однако современные философы утверждают, что математика имеет своим истоком не морфологию или физиологию разума, а его активность. Именно активность разума с ее эволюционирующими методами несет в себе организующее начало. Творческая активность разума постоянно рождает новые, высшие формы мысли. На примере математики можно ясно видеть, что человеческий разум не ограничен в своей способности созидать некий объем знания, который он сам считает интересным или полезным. Область такого созидания не замкнута. Творческая активность способна создать понятия, применимые как к существующим, так и к вновь возникающим областям мысли. Человеческий разум наделен способностью изобретать конструкции, включающие в себя результаты опыта, и упорядочивать их. Источник математики — в непрерывном развитии самого разума.

Ныне возникает немало разногласий по поводу природы самой математики и утрате ею своего исключительного положения как общепризнанной бесспорной области знания, и это свидетельствует о том, что математика — творение человеческого разума. Как сказал Эйнштейн, «всякий, кто осмеливается взять на себя роль судьи во всем, что касается Истины и Знания, терпит крушение под смех богов» ([13], с. 375).

Математики «оставили бога», поэтому им не оставалось ничего другого, как обратиться к человеку, что они и сделали. Они продолжали развивать свою науку и искать законы природы, прекрасно понимая, что их открытия отнюдь не замысел божий, а творения человека. Успехи, достигнутые математиками в прошлом, помогли им обрести уверенность в собственной правоте, и, к счастью, немало новых успехов увенчало их усилия. Жизнь математики была спасена благодаря чудодейственному лекарству, также приготовленному людьми: великолепным достижениям в небесной механике, акустике, гидродинамике, оптике, теории электромагнетизма, технике и фантастической точности предсказаний, основанных на математических теориях.

В своей «Загадочной Вселенной» (1930) Джеймс Джинс как бы подводит итог этому развитию математики:

Наши далекие предки пытались интерпретировать природу с помощью ими же созданных антропоморфных понятий и потерпели неудачу. Столь же безуспешными оказались и усилия наших не столь отдаленных предшественников, пытавшихся рассматривать природу как своего рода механизм… Вместе с тем наши усилия познать природу, пользуясь понятиями чистой математики, до сих пор были необычайно успешными. Ныне представляется бесспорным, что природа теснее связана с понятиями чистой математики, чем с понятиями биологии и техники.

Далее Джинс, подчеркивая близкое родство между человеком и физическим миром, замечает: «Во всяком случае, не подлежит сомнению, что природа и наши сознательные математические умы действуют по одним и тем же законам» ([13], с. 398). И далее осторожно добавляет: «Вселенную лучше всего изображать (хотя и этот образ далек от совершенства и неадекватен) как чистую мысль, принадлежащую кому-то, кого за неимением более подходящего слова мы назовем математическим мыслителем». Тем, кто все еще сетует на то, что физические науки достигают успеха ценой математической абстракции, следовало бы поразмыслить и попытаться понять, какие откровения они ожидали найти в самом полном научном изложении природы физического мира.

Независимо от того, что могут поведать о существовании и нашем знании физического мира новейшие философские учения, одно не вызывает сомнений. Современная физика отказалась от механических моделей или даже наглядных картин физической реальности; она все большее значение придает математическому описанию и даже всецело полагается на него. Эта тенденция, насколько можно судить, сохранится и впредь. Возврат к прошлому вряд ли возможен. Новейшие области физики столь далеки от повседневного опыта, от чувственного восприятия, что постичь их по силам только математике.

По словам Джинса, «создание моделей или картин для объяснения математических формул и описываемых ими явлений — шаг не к реальности, а от нее; поступать так все равно, что взять идолов, изображающих бесплотные духи».

Платон в свое время использовал образ пещеры, на стене которой человек видит только тени людей и событий; так и мы, живущие в физическом мире, наблюдаем только тени многих физических явлений, и эти «тени» — математические. Может не быть духов, ведьм или чертей, но физические явления, столь же не доступные нашему восприятию, как и любые другие творения человеческого воображения, заведомо существуют.

Тенденция к толкованию математических закономерностей как самой реальности отчетливо прослеживается в работах многих авторов. Дж. У.Н. Салливен в книге «Ограничения науки» (1933) утверждает, что только количественные аспекты материальных явлений имеют отношение к реальному миру. В частности, современное естествознание не требует понимания природы исследуемых сущностей, оно довольствуется знанием их математической структуры. Джинс в своей «Загадочной Вселенной» назвал Вселенную гигантской мыслью. Разум перестал быть незваным гостем в материальном мире, отныне он — его создатель.

Имея в виду не Вселенную в целом, а лишь круг явлений, изучением которых занимается квантовая механика, физик и философ Генри Маргенау утверждает, что волновые функции Шрёдингера есть подлинная реальность.

Но, быть может, лучше всех позицию большинства современных ученых выразил Эйнштейн в книге «Мир, каким я вижу его» (1934):

Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов. Я убежден, что посредством чисто математических конструкций мы можем найти те понятия и закономерные связи между ними, которые дадут нам ключ к пониманию явлений природы. Опыт может подсказать нам соответствующие математические понятия, но они ни в коем случае не могут быть выведены из него. Конечно, опыт остается единственным критерием пригодности математических конструкций физики. Но настоящее творческое начало присуще именно математике. Поэтому я считаю в известном смысле оправданной веру древних в то, что чистое мышление в состоянии постигнуть реальность.

([7], т. 4, с. 184.)

Наделенные немногими и весьма ограниченными по своим возможностям органами чувств и головным мозгом, люди начали проникать в окружающий их загадочный мир. Используя собственный чувственный опыт и данные, полученные из экспериментов, люди выработали некий набор аксиом, применив к ним мощь своего разума. Целью их поисков было выявление порядка, лежащего в основе мироздания. Они стремились построить системы знания, которые противостояли бы мимолетности ощущений и могли бы служить основой для создания неких схем, способных объяснить окружающий мир и помочь овладеть им. И главным продуктом человеческого разума стала математика. Она отнюдь не безупречно ограненный и идеально отшлифованный драгоценный камень, и даже непрерывная «доводка» не в состоянии устранить всех ее изъянов. И все же именно математика воплощает в себе звено, наиболее эффективно связывающее реальный мир с миром чувственных восприятий, и остается поныне драгоценнейшим сокровищем человеческого разума, которое надлежит всячески оберегать. На протяжении долгого времени математика находилась в авангарде человеческой мысли и, несомненно, сохранит передовые позиции, даже если более тщательные исследования выявят в ней какие-нибудь новые изъяны.

Математическая мысль без устали бьется о скалистый берег, препятствующий ее проникновению на новые территории. Но даже гранитные утесы не выдерживают ее могучего натиска, не ослабевающего на протяжении столетий, и рушатся, открывая перед математикой новые просторы.

<<< |1|…|11|12|13|14|15|16|17|18|19| >>>
Комментарии: 0