Как математически были классифицированы симметрии явлений? Как соотносятся полупростые группы Ли и физика элементарных частиц? Что явилось математической предпосылкой существования кварков? О полупростых группах Ли, классификации элементарных частиц и математических моделях в природе рассказывает Алексей Семихатов, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Физического института им. Лебедева РАН.
Математику делает успешной сочетание двух вещей. Совершенная конкретика — не просто конкретность, а некая конкретика: если A равно нулю, то A равно нулю, A не может быть что-нибудь, или я думаю, что, наверное, оно равно нулю. Так — так, не так — так не так. С другой стороны, высокая степень абстрактности. Как только вы начинаете говорить с математиком, рассказывать ему вашу конкретную задачу и просите помочь — его страшно раздражают ваши упоминания реалий, будь то белки в вашей клетке, или какие-нибудь электрические потенциалы, или что-то еще, — ему хочется освободиться от тех терминов, в которых вы мыслите, и оставить логическую схему того, что вы пытаетесь до него донести.
Когда математик функционирует внутри математики, его часто интересуют вещи в наиболее общем виде: можем мы это сделать не для чисел 2, 3, 4, 5, а для всех чисел, не для пространств размерностей 3 и 4, а для пространств любой размерности. Другое дело, что иногда получается, иногда нет, иногда для четных размерностей или для больших размерностей можно применить одни методы, а для других — другие методы, и вещи могут различаться в пространствах разной размерности. Не всегда все удается обобщить, но стремление к этому есть всегда. Почему? С одной стороны, для человека, смотрящего со стороны, это, казалось бы, несколько иссушает, потому что вроде бы лишает содержания, лишает конкретики то, с чем математик имеет дело. С другой стороны, именно потому, что удается освободиться от всех ненужных деталей, удается разглядеть общую логическую структуру, удается двигаться вперед.
Как математически были классифицированы симметрии явлений? Как соотносятся полупростые группы Ли и физика элементарных частиц? Что явилось математической предпосылкой существования кварков? Об этом рассказывает доктор физико-математических наук Алексей Семихатов.
Математику делает успешной сочетание двух вещей. Совершенная конкретика — не просто конкретность, а некая конкретика: если A равно нулю, то A равно нулю, A не может быть что-нибудь, или я думаю, что, наверное, оно равно нулю. Так — так, не так — так не так. С другой стороны, высокая степень абстрактности. Как только вы начинаете говорить с математиком, рассказывать ему вашу конкретную задачу и просите помочь — его страшно раздражают ваши упоминания реалий, будь то белки в вашей клетке, или какие-нибудь электрические потенциалы, или что-то еще, — ему хочется освободиться от тех терминов, в которых вы мыслите, и оставить логическую схему того, что вы пытаетесь до него донести.
Когда математик функционирует внутри математики, его часто интересуют вещи в наиболее общем виде: можем мы это сделать не для чисел 2, 3, 4, 5, а для всех чисел, не для пространств размерностей 3 и 4, а для пространств любой размерности. Другое дело, что иногда получается, иногда нет, иногда для четных размерностей или для больших размерностей можно применить одни методы, а для других — другие методы, и вещи могут различаться в пространствах разной размерности. Не всегда все удается обобщить, но стремление к этому есть всегда. Почему? С одной стороны, для человека, смотрящего со стороны, это, казалось бы, несколько иссушает, потому что вроде бы лишает содержания, лишает конкретики то, с чем математик имеет дело. С другой стороны, именно потому, что удается освободиться от всех ненужных деталей, удается разглядеть общую логическую структуру, удается двигаться вперед.
[Математический язык в познании и мышлении] Математический язык в познании и мышленииМатематик Алексей Семихатов об открытии планеты Нептун, уравнениях Максвелла и математическом описании расширения Вселенной
Важную роль в описании различных свойств, явлений природы, нашего мира играют симметри́и явлений (обычно говорят «симме́трии», а математики говорят «симметри́и», так же как физики говорят «ато́мный»). Если Солнце круглое, то это означает, что оно излучает одинаково по всем направлениям, более-менее неважно, как оно повернуто. Если Земля вращается вокруг своей оси, то есть выделенное направление, но север и юг — эти два направления — более-менее равноценны и так далее. Наличие симметрий позволяет задать себе вопрос о том, какие вообще бывают симметрии, можно ли их классифицировать. И тут возникает удивительная вещь. В первой половине XX века люди задались системой аксиом, которым должны удовлетворять симметрии определенного класса. Это так называемая теория Ли норвежского математика Софуса Ли (создавал не только Софус Ли, но и другие люди), которая за несколько десятилетий была сильно продвинута и на некотором своем участке даже закончена.
Что удалось сделать? Удалось сказать, что если мы считаем, что есть такие-то симметрии, неважно у чего: у текущей воды, у летящей звезды, у какой-нибудь системы, — то эта симметрия непременно лежит в каком-то классе. Удалось перечислить все, что может происходить, — не все вообще, а в пределах некоторых ограничений, которые казались и кажутся разумными. Другое дело — по тому же самому тренду искать максимальную общность, ведь математики все время пытаются ослабить ограничение, посмотреть, что лежит рядом с этим, и продвинуться дальше.
Некое чудо состоит в том, что вся эта история началась в конце XIX века и развилась в начале XX века, до появления квантовой механики, физики элементарных частиц, возникли учебники, в которых были написаны, расклассифицированы эти симметрии, и так далее. Но это была внутренняя потребность развития математики, потому что среди этих симметрий были странные, исключительные — были типические, а были исключительные, — это так называемая классификация полупростых групп Ли, выражаясь техническим языком, это некоторая классификация класса симметрий.
Классификация — это великая вещь, которая говорит о том, что других в этом классе быть не может, и это некое чудо — то, что это вообще возникло. Это мощная сторона математики, когда вы задаете систему аксиом — то есть из опыта, очищая опыт, берете систему аксиом, свойств, которые вы хотите, чтобы были, — и задаетесь вопросом: а за этими свойствами огромное количество вещей может им удовлетворять или, может быть, этим свойствам довольно трудно удовлетворить, и вещей и систем, которые их реализуют и выражают, может быть не так много?
Наступила вторая половина XX века, и люди стали открывать все большее и большее количество элементарных частиц. Сначала их было 2, 3, потом 10, потом 15, и среди людей, этим занимающихся, физиков, которые ничего не знали про ту математику, о которой я только что говорил, возникало легкое раздражение, носящее эстетический характер.
Когда мы проникаем вглубь, нам хочется, чтобы структурных элементов было меньше.
Например, химических соединений вокруг нас бесконечное количество, а элементов, того, что в таблице, в Периодической системе Менделеева, перечислено, из чего все состоит, весьма конечное число — порядка сотни, а реально в ходу примерно полсотни, потому что часть из них нестабильные, немножко ненастоящие.
Точно так же, когда мы проникаем вглубь структуры материи, скажем, в элементарную частицу, нам почему-то хочется чисто эстетически — это ни на чем не основано, — чтобы структурных элементов было поменьше. И эта идея абсолютно разбилась о реальность, эта мечта. Потому что выяснилось, что, как только строили ускоритель чуть-чуть посильнее — чепуховые энергии по сравнению с энергией Большого адронного коллайдера, но в свое время строился такой ускоритель, — возникали новые частицы, потом еще новые, потом еще новые, их скоро стало 50, 100, 150, потом 200, потом стало ясно, что, если у вас будет ускоритель еще, вы «нарожаете» еще других элементарных частиц. Они ни из чего не состоят, они все превращаются друг в друга, частица A превращается в частицу B, а частица B при определенных условиях может превратиться в частицу A. Такой там «зоопарк».
Что делает в таких случаях феноменолог? Феноменолог начинает пытаться классифицировать этот «зоопарк», составляет списки. И выясняется, что по некоторым свойствам открытые в природе частицы группируются в некоторые семейства. В одном семействе 8 частиц, в следующем — 15, в следующем еще сколько-то. И семейств бесконечно много. И если строить все новые ускорители, будут открываться все новые семейства с все большим числом частиц.
Выясняется, что нужно протянуть руку, снять с полки учебник математики, той самой классификации полупростых групп Ли, о которой я только что рассказал, которая к тому времени была закончена, где ровно тот же самый список: семейства из 8, потом из 15, потом из чего-то еще и так далее. И возникает мысль, что в природе каким-то непостижимым образом реализован один из списков из этого учебника математики. Другое дело, что в учебнике математики таких списков много. Природа выбрала один.
Как математически были классифицированы симметрии явлений? Как соотносятся полупростые группы Ли и физика элементарных частиц? Что явилось математической предпосылкой существования кварков? Об этом рассказывает доктор физико-математических наук Алексей Семихатов.
Математику делает успешной сочетание двух вещей. Совершенная конкретика — не просто конкретность, а некая конкретика: если A равно нулю, то A равно нулю, A не может быть что-нибудь, или я думаю, что, наверное, оно равно нулю. Так — так, не так — так не так. С другой стороны, высокая степень абстрактности. Как только вы начинаете говорить с математиком, рассказывать ему вашу конкретную задачу и просите помочь — его страшно раздражают ваши упоминания реалий, будь то белки в вашей клетке, или какие-нибудь электрические потенциалы, или что-то еще, — ему хочется освободиться от тех терминов, в которых вы мыслите, и оставить логическую схему того, что вы пытаетесь до него донести.
Когда математик функционирует внутри математики, его часто интересуют вещи в наиболее общем виде: можем мы это сделать не для чисел 2, 3, 4, 5, а для всех чисел, не для пространств размерностей 3 и 4, а для пространств любой размерности. Другое дело, что иногда получается, иногда нет, иногда для четных размерностей или для больших размерностей можно применить одни методы, а для других — другие методы, и вещи могут различаться в пространствах разной размерности. Не всегда все удается обобщить, но стремление к этому есть всегда. Почему? С одной стороны, для человека, смотрящего со стороны, это, казалось бы, несколько иссушает, потому что вроде бы лишает содержания, лишает конкретики то, с чем математик имеет дело. С другой стороны, именно потому, что удается освободиться от всех ненужных деталей, удается разглядеть общую логическую структуру, удается двигаться вперед.
Важную роль в описании различных свойств, явлений природы, нашего мира играют симметри́и явлений (обычно говорят «симме́трии», а математики говорят «симметри́и», так же как физики говорят «ато́мный»). Если Солнце круглое, то это означает, что оно излучает одинаково по всем направлениям, более-менее неважно, как оно повернуто. Если Земля вращается вокруг своей оси, то есть выделенное направление, но север и юг — эти два направления — более-менее равноценны и так далее. Наличие симметрий позволяет задать себе вопрос о том, какие вообще бывают симметрии, можно ли их классифицировать. И тут возникает удивительная вещь. В первой половине XX века люди задались системой аксиом, которым должны удовлетворять симметрии определенного класса. Это так называемая теория Ли норвежского математика Софуса Ли (создавал не только Софус Ли, но и другие люди), которая за несколько десятилетий была сильно продвинута и на некотором своем участке даже закончена.
Что удалось сделать? Удалось сказать, что если мы считаем, что есть такие-то симметрии, неважно у чего: у текущей воды, у летящей звезды, у какой-нибудь системы, — то эта симметрия непременно лежит в каком-то классе. Удалось перечислить все, что может происходить, — не все вообще, а в пределах некоторых ограничений, которые казались и кажутся разумными. Другое дело — по тому же самому тренду искать максимальную общность, ведь математики все время пытаются ослабить ограничение, посмотреть, что лежит рядом с этим, и продвинуться дальше.
Некое чудо состоит в том, что вся эта история началась в конце XIX века и развилась в начале XX века, до появления квантовой механики, физики элементарных частиц, возникли учебники, в которых были написаны, расклассифицированы эти симметрии, и так далее. Но это была внутренняя потребность развития математики, потому что среди этих симметрий были странные, исключительные — были типические, а были исключительные, — это так называемая классификация полупростых групп Ли, выражаясь техническим языком, это некоторая классификация класса симметрий.
Классификация — это великая вещь, которая говорит о том, что других в этом классе быть не может, и это некое чудо — то, что это вообще возникло. Это мощная сторона математики, когда вы задаете систему аксиом — то есть из опыта, очищая опыт, берете систему аксиом, свойств, которые вы хотите, чтобы были, — и задаетесь вопросом: а за этими свойствами огромное количество вещей может им удовлетворять или, может быть, этим свойствам довольно трудно удовлетворить, и вещей и систем, которые их реализуют и выражают, может быть не так много?
Наступила вторая половина XX века, и люди стали открывать все большее и большее количество элементарных частиц. Сначала их было 2, 3, потом 10, потом 15, и среди людей, этим занимающихся, физиков, которые ничего не знали про ту математику, о которой я только что говорил, возникало легкое раздражение, носящее эстетический характер.
Когда мы проникаем вглубь, нам хочется, чтобы структурных элементов было меньше. Например, химических соединений вокруг нас бесконечное количество, а элементов, того, что в таблице, в Периодической системе Менделеева, перечислено, из чего все состоит, весьма конечное число — порядка сотни, а реально в ходу примерно полсотни, потому что часть из них нестабильные, немножко ненастоящие.
Точно так же, когда мы проникаем вглубь структуры материи, скажем, в элементарную частицу, нам почему-то хочется чисто эстетически — это ни на чем не основано, — чтобы структурных элементов было поменьше. И эта идея абсолютно разбилась о реальность, эта мечта. Потому что выяснилось, что, как только строили ускоритель чуть-чуть посильнее — чепуховые энергии по сравнению с энергией Большого адронного коллайдера, но в свое время строился такой ускоритель, — возникали новые частицы, потом еще новые, потом еще новые, их скоро стало 50, 100, 150, потом 200, потом стало ясно, что, если у вас будет ускоритель еще, вы «нарожаете» еще других элементарных частиц. Они ни из чего не состоят, они все превращаются друг в друга, частица A превращается в частицу B, а частица B при определенных условиях может превратиться в частицу A. Такой там «зоопарк».
Что делает в таких случаях феноменолог? Феноменолог начинает пытаться классифицировать этот «зоопарк», составляет списки. И выясняется, что по некоторым свойствам открытые в природе частицы группируются в некоторые семейства. В одном семействе 8 частиц, в следующем — 15, в следующем еще сколько-то. И семейств бесконечно много. И если строить все новые ускорители, будут открываться все новые семейства с все большим числом частиц.
Выясняется, что нужно протянуть руку, снять с полки учебник математики, той самой классификации полупростых групп Ли, о которой я только что рассказал, которая к тому времени была закончена, где ровно тот же самый список: семейства из 8, потом из 15, потом из чего-то еще и так далее. И возникает мысль, что в природе каким-то непостижимым образом реализован один из списков из этого учебника математики. Другое дело, что в учебнике математики таких списков много. Природа выбрала один.
История на этом не закончилась. Достаточно было предположить, что природа действительно выбрала этот список, чтобы увидеть, что соответствие между списком в учебнике математики и тем, что видно на ускорителях, неполное. В учебнике математики присутствует первый элемент списка, которого нет в том, что мы видим на ускорителях. Есть самое маленькое семейство, которое на языке ускорителя означало бы, что в нем всего три частицы из чего-то трех, у которого очень странные свойства, если перевести их на физический язык. Если предположить, что такие частицы существуют — то есть мы видим соответствие между существующими частицами и тем, что написано в учебнике математики (это уже стало учебником к этому моменту), — у них были бы странные свойства. Например, дробный электрический заряд. Никогда до этого дробный электрический заряд не наблюдался.
Логический скачок, который сделали люди и который заслуженно принес им Нобелевскую премию, состоял в том, что давайте предположим, что в природе есть частицы, соответствующие этому семейству тоже, что список из учебника математики — классификация конечномерных представлений группы SU(3) — реализован в природе целиком, не без первого своего члена, а целиком, полностью. Тогда в природе существуют очень странные частицы. Но в математике написано у них еще одно свойство. Взяв это самое маленькое семейство из трех и делая с ним некоторую операцию, нечто типа умножения, которое технически называется тензорным произведением, вы можете получать все остальные семейства. Умножьте 3 на 3 — получится 9. Но там это не совсем числа вы умножаете: семейство из восьми — это почти девятка (единицу нужно вычислить по некоторым правилам), потом возникает семейство из 15 после следующего умножения на 3 и так далее и так далее.
То есть математически имелось такое свойство. В той самой классификации, полученной без всякой мысли о физике, было получено свойство, которое говорит, что самое маленькое семейство воспроизводит все остальные. И это положили в основу следующей гипотезы. Соответствующие частички, эти три частички, обладают таким свойством: из них сложено все остальное. Так и есть. Это кварки, из которых сложена добрая половина окружающего нас мира, — речь не идет о темной материи, — обычных окружающих нас частиц. Для меня мир состоит из кварков потому, что имеется математическая теорема, которая говорит о том, что тензорными произведениями трехмерных представлений можно породить все остальные представления. Если бы это было не так, то какой-то из частиц, найденных на ускорителях или адронах, не складывалось бы из кварков. Но математика говорит о том, что такого не случается. Это прекрасная иллюстрация того, как, с одной стороны, сначала мы абстрагируемся из некоторой области реальности, из некоторого опыта и начинаем изучать структуры, которые мы оттуда считываем, забыв про все, и развиваемся в рамках абстрактных рассуждений, занимаясь только этими структурами.
Казалось бы, сидим в башне из слоновой кости — в чем обвиняют математиков, — не смотрим в окно, не выглядываем наружу и занимаемся своим делом. А потом выясняется, что прошло, может быть, мало, может быть, много лет, и какой-то кусок природы просто описывается, у нас есть готовая теория для этого. Почему-то где-то в природе часть того, что мы построили внутри математики, оказывается реализована — только не сразу, а скрытым образом. И это большая помощь — знать, что есть, взять с полки этот учебник математики. Иногда учебник еще не написан, иногда это какие-то наброски, заметки. Физики и математики ходят и разговаривают друг с другом, пытаясь угадать, каким образом математическое знание может, каким образом ему удается идти параллельно физическому, иногда и часто его даже опережать — это большая-большая загадка.
Самый интересный вопрос такой: все ли, что есть в математике, реализовано во Вселенной? С первого взгляда, конечно, нет. Список полупростых алгебр Ли бесконечный, а в Стандартной модели элементарных частиц какая-то вполне конкретная. Но кто знает? Может быть, либо в других уголках Вселенной, либо в том, что сейчас называют мультивселенной, попробовано все остальное. Меня это не очень бы удивило. Меня бы это удивило не сильнее, чем я уже удивился от того, что есть хоть какое-то соответствие между одним куском из чистой математики и тем, что находится в физике.
Одна из интриг того, как люди сейчас изучают мир, один из способов этого изучения — это попытка ответить на вопрос «Что еще из известных хороших и красивых математических структур реализовано где-то в мире, в каких-то модельных системах, в каких-то кусках этого мира, при каких-то определенных условиях?». Вопрос оказывается удивительно неглупым. Некоторое чудо состоит в том, что это осмысленный вопрос, он приносит осмысленные ответы. Неизвестно, почему так происходит, но это и радостно, и очень интригующе.
Почему мы рассматриваем окружающий мир через призму математической логики? Как была открыта планета Нептун? И как Максвелл вывел свои уравнения? Об этом рассказывает доктор физико-математических наук Алексей Семихатов.
Как мы воспринимаем размерность пространства? Каким образом связаны логическое математическое мышление и интуиция? Как были описаны фракталы? Об апории Зенона «Ахиллес и черепаха», отеле Гильберта и размерности пространства рассказывает Алексей Семихатов, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Физического института им. Лебедева РАН.
Для чего нужен «медленный свет»? В чем особенности сверхтекучей жидкости? Каким образом можно использовать поляритоны? О преобразовании фотонов в веществе, поляритонном лазере и квантовых компьютерах рассказывает Алексей Кавокин, кандидат физико-математических наук, профессор Университета Саутгемптона, руководитель группы квантовой поляритоники Российского квантового центра, научный директор Средиземноморского института фундаментальной физики (Италия).
Существует ли единый «Код Природы»? Может ли число порождать свет, а свет — материю? В чем суть основных принципов «неопифагорейского» подхода к построению физических теорий? О «реке времени» и частицах как точках «сгущения» первичных световых потоков — физик Владимир Кассандров.
Вашему вниманию предлагается исследовательская программа, последовательно возрождающая неопифагорейскую философию в теоретической физике и основанная на убеждении в неслучайности физических законов, в существовании единого первичного принципа, определяющего структуру (видимого и невидимого) Мира и записанного на абстрактном математическом языке, на языке Чисел (целых, действительных и, возможно, их обобщений).
«Современные события имеют с событиями предшествующими связь, основанную на очевидном принципе, что никакой предмет не может начать быть без причины, которая его произвела... Воля, сколь угодно свободная, не может без определенного мотива породить действия, даже такие, которые считаются нейтральными... Мы должны рассматривать современное состояние Вселенной как результат ее предшествующего состояния и причину последующего. Разум, который для какого-нибудь данного момента знал бы все силы, действующие в природе, и относительное расположение ее составных частей, если бы он, кроме того, был достаточно обширен, чтобы подвергнуть эти данные анализу, обнял бы в единой формуле движения самых огромных тел во Вселенной и самого легкого атома; для него не было бы ничего неясного, и будущее, как и прошлое, было бы у него перед глазами... Кривая, описываемая молекулой воздуха или пара, управляется столь же строго и определенно, как и планетные орбиты: между ними лишь та разница, что налагается нашим неведением»
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.
Параллельные, пересекающиеся, ветвящиеся и вновь сходящиеся вместе миры. Что это — выдумка писателей-фантастов или реальность, ещё не осознанная? Тема многомирия, развиваемая философами с античных времён, в середине XX века стала предметом обсуждения физиков. На основе принципа взаимодействия наблюдателя с квантовой реальностью появилась новая интерпретация квантовой механики, получившая название «оксфордской». Её автор, молодой физик Хью Эверетт, встречался с Нильсом Бором, основателем общепринятой на тот момент «копенгагенской» интерпретации квантовой механики. Но общего языка они не нашли. Их миры разошлись...
Хотя теория Пенроуза—Хамероффа в последнее время упоминается всё чаще, отношение к ней остаётся весьма сдержанным. Чем же она так плоха? И почему её недостатки до сих пор не отпугнули последователей?
Популярная лекция, в том виде, в каком Владимир Игоревич Арнольд прочитал ее 13 мая 2006 года в концертном зале «Академический» по приглашению фонда «Династия». Эту лекцию, как уверяет сам академик Арнольд, может понять даже школьник.