Scisne?

Правильный шестиугольник

Комментарии: 0
Правильный шестиугольник (гексагон) — это правильный многоугольник с шестью сторонами.

Правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник

Математические свойства

Особенность правильного шестиугольника — равенство его стороны $t$ и радиуса описанной окружности $R$, поскольку $2 \sin \frac{\pi}{6} = 1$.

Все углы равны 120°.

Радиус вписанной окружности равен:

$r = \frac{\sqrt 3}{2} R = \frac{\sqrt 3}{2} t$.

Периметр правильного шестиугольника равен:

$p = 6 R = 4 \sqrt 3 r$

Площадь правильного шестиугольника рассчитывается по формулам:

$S = \frac{3 \sqrt 3}{2} R^2 = \frac{3 \sqrt 3}{2} t^2$,

$S = 2 \sqrt 3 r^2$.

Шестиугольники замощают плоскость, то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений, образуя так называемый паркет.

Шестиугольный паркет (шестиугольный паркетаж) — замощение плоскости равными правильными шестиугольниками, расположенными сторона к стороне.

Шахматная раскраска шестиугольного паркета
Шахматная раскраска шестиугольного паркета

Шестиугольный паркет является двойственным треугольному паркету: если соединить центры смежных шестиугольников, то проведённые отрезки дадут треугольный паркетаж. Символ Шлефли шестиугольного паркета — {6,3}, что означает, что в каждой вершине паркета сходятся три шестиугольника.

Шестиугольный паркет является наиболее плотной упаковкой кругов на плоскости. В двумерном евклидовом пространстве наилучшим заполнением является размещение центров кругов в вершинах паркета, образованного правильными шестиугольниками, в котором каждый круг окружен шестью другими. Плотность данной упаковки равна $\frac{\pi}{2\sqrt{3}} \approx 0.9069$. В 1940 году было доказано, что данная упаковка является самой плотной.

Наиболее плотная упаковка кругов на плоскости
Наиболее плотная упаковка кругов на плоскости

Правильный шестиугольник со стороной $\frac{1}{\sqrt 3}$ является универсальной покрышкой, то есть всякое множество диаметра $1$ можно покрыть правильным шестиугольником со стороной$\frac{1}{\sqrt 3}$ (лемма Пала).

Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения, предложенный Евклидом в «Началах», книга IV, теорема 15.

Построение правильного шестиугольника с помощью циркуля и линейки
Построение правильного шестиугольника с помощью циркуля и линейки

Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре

Пчелиные соты показывают разбиение плоскости на правильные шестиугольники. Шестиугольная форма больше остальных позволяет сэкономить на стенках, то есть на соты с такими ячейками уйдёт меньше воска.

Пчелиные соты
Пчелиные соты

Некоторые сложные кристаллы и молекулы, например графит, имеют гексагональную кристаллическую решётку.

Кристаллическая решетка графита
Кристаллическая решетка графита

Снежинки образуется, когда микроскопические капли воды в облаках притягиваются к пылевым частицам и замерзают. Появляющиеся при этом кристаллы льда, не превышающие поначалу 0,1 мм в диаметре, падают вниз и растут в результате конденсации на них влаги из воздуха. При этом образуются шестиконечные кристаллические формы. Из-за структуры молекул воды между лучами кристалла возможны углы лишь в 60° и 120°. Основной кристалл воды имеет в плоскости форму правильного шестиугольника. На вершинах такого шестиугольника затем осаждаются новые кристаллы, на них — новые, и так получаются разнообразные формы звёздочек-снежинок.

Снежинки
Снежинки

Гигантский гексагон — атмосферное явление на Сатурне.

Гигантский гексагон — устойчивое атмосферное образование на северном полюсе Сатурна, открытое аппаратом Вояджер-1 и наблюдаемое снова в 2006 году аппаратом Кассини-Гюйгенс.
Гигантский гексагон — устойчивое атмосферное образование на северном полюсе Сатурна, открытое аппаратом Вояджер-1 и наблюдаемое снова в 2006 году аппаратом Кассини-Гюйгенс.

Учёные из Оксфордского университета смогли в лабораторных условиях смоделировать возникновение подобного гексагона. Чтобы выяснить, как возникает такое образование, исследователи поставили на вертящийся стол 30-литровый баллон с водой. Она моделировала атмосферу Сатурна и её обычное вращение. Внутри учёные поместили маленькие кольца, вращающиеся быстрее ёмкости. Это генерировало миниатюрные вихри и струи, которые экспериментаторы визуализировали при помощи зелёной краски. Чем быстрее вращалось кольцо, тем больше становились вихри, заставляя близлежащий поток отклоняться от круговой формы. Таким образом авторам опыта удалось получить различные фигуры — овалы, треугольники, квадраты и, конечно, искомый шестиугольник.

Вращение гексагона на северном полюсе Сатурна
Вращение гексагона на северном полюсе Сатурна

Дорога гигантов — памятник природы из примерно 40 000 соединённых между собой базальтовых (реже андезитовых) колонн, образовавшихся в результате древнего извержения вулкана. Расположен на северо-востоке Северной Ирландии в 3 км к северу от города Бушмилса.

Верхушки колонн образуют подобие трамплина, который начинается у подножья скалы и исчезает под поверхностью моря. Большинство колонн шестиугольные, хотя у некоторых четыре, пять, семь и восемь углов. Самая высокая колонна высотой около 12 м.

Около 50-60 миллионов лет назад, во время палеогенового периода, месторасположение Антрим подвергалось интенсивной вулканической активности, когда расплавленный базальт проникал через отложения, формируя обширные лавовые плато. По мере быстрого охлаждения происходило сокращение объёма вещества (подобное наблюдается при высыхании грязи). Горизонтальное сжатие приводило к характерной структуре шестигранных столбов.

Дорога гигантов
Дорога гигантов

Игровое поле зачастую составляют шестиугольники. Замощение плоскости правильными шестиугольниками является основой для гекса, гексагональных шахмат и других игр на клетчатом поле, полигексов, вариантов модели «Жизнь» и других двумерных клеточных автоматов, кольцевых флексагонов и т.п.

Гексагональные шахматы Глинского. Начальное положение фигур.
Гексагональные шахматы Глинского. Начальное положение фигур.

Сечение гайки имеет вид правильного шестиугольника.

Гайки
Гайки

Звезда Давида (гексаграмма) — шестиконечная звезда, образованная двумя правильными треугольниками, символ иудаизма.

Звезда Давида
Звезда Давида
Комментарии: 0