Scisne?

О математике

Губин В. Б.

Комментарии: 0
Деятельность, устанавливая границы в «неоднородной» материи, выделяет объекты. В деятельности существенно, что приходится принимать решения «да» или «нет» соответственно наличию «хорошо» или «плохо» в ощущениях. Отсюда границы, целое, объекты, классы объектов.

Об этих принципах деятельности было уже давно известно. В 1773 году Пьетро Верри писал: «Соединение и разъединение - вот единственные элементы, которые обнаруживает человеческий разум, анализируя идею воспроизводства» (в широком плане - воспроизводства жизни. - В.Г.). Цитата приведена Марксом в первой главе «Капитала» при анализе производительной деятельности.

Границы, их перебор, последовательность, упорядочение, счет - порождение и средство деятельности. Чистая математика изучает возможности и результаты в принципе произвольной модельной деятельности с произвольным модельным материалом а также разрабатывает модельные свойства потенциально возможного материала. Последнее производится в терминах, свойственных деятельности, т.е. с помощью сравнения и учета результатов сравнения, границ, объектов, перечисления объектов, условий и порядка включения объектов в те или иные классы, - поскольку в деятельности свойства материала могут быть указаны только по результатам работы с ним в определенных условиях.

Деятельность обязательно характеризуется некоторыми необходимыми моментами, среди которых основной - отделение «одного» от «другого» на основе применения некоторой меры при необходимости принятия решения - ощущение имеет не много смысла без ответных действий. Еще один момент - непротиворечивость, что связано с жесткой однозначностью при принятии решения: или «да», или «нет». В деятельности осуществляется абсолютно жесткая связь действия «да - нет» с полученными «данными» «хорошо - плохо». Обстоятельства всегда вызывают определенный отклик. По одному и тому же четко поставленному вопросу, адекватно отражающему условия (материал и характер деятельности) и выясняющему, получится или нет такой-то результат, «да» и «нет» одновременно невозможны. Описать реальный неисчерпаемый материал исчерпывающим образом, конечно, нельзя. Однако в реальности отклик «хорошо» или «плохо» - и только один из них - объективно обусловленным образом вырабатывается при воздействии на живое неисчерпаемо сложного материала всегда (кроме случаев разрушения живого, что тоже можно отнести к разряду «плохо»). Итак, ответ должен быть определенным. Границы и непротиворечивость появляются одновременно. Соответствующая логика, разумеется, двузначная: или по одну сторону границы, или по другую, третьего не может быть. Принципы деятельности, связанные с применением меры, установлением границ, отнесением состояний по ту или иную сторону границы и т.д., едины для всего живого, не зависят от конкретного мира, в котором находится субъект. По этой причине и математика - сама по себе - в разных мирах - одна и та же. В связи с разными условиями, опытом и историей в этих мирах неизбежно будут разными общий уровень математических разработок и области интереса, но математики разных миров в принципе смогут понять друг друга. Более того, и предыдущее отсюда следует, вся математика потенциально однозначно определена, т.е. как бы вся уже существует в потенции: для любого вида модельного материала и каждого способа работы с ним верный результат не зависит от конкретного математика, который «только» обнаруживает его в математическом мире. Ясно также, что при математической имитации деятельности возникает именно формальная логика, а не диалектическая. Для обязательности получения определенного результата в модельной имитации деятельности (обязательность соответствует неизбежности выработки состояния «хорошо» или «плохо» в результате взаимодействия субъекта со средой) необходима полная определенность имитационной схемы - замкнутость системы свойств материала и способов действия, чтобы критерий выбора решения срабатывал обязательно. Поэтому у модельной среды не должно быть состояний, безразличных для критерия, на которые он просто не реагирует. Следовательно, в идеале математики, к которому стремятся, требуя полной замкнутости и непротиворечивости схем, ни о какой неисчерпаемости свойств среды, превосходящей мощь критерия, не может быть речи. По-видимому, причина принципиальных трудностей при построении некоторых разделов математики (например, дифференцирования) заключалась в попытках слишком узкими формальными средствами («логически») оперировать с не вполне поддающимся им, в каком-то смысле неисчерпаемым материалом. На примере дифференцирования ясно видно, что трудности возникали каждый раз, как только расширялся класс объектов, которые по-прежнему продолжали называть функциями, или когда повышали требования к строгости обоснования дифференцирования, что в действительности означало распространение процедуры дифференцирования на функции более широкого класса. Напрасны надежды разработать универсальный аппарат, способный однозначно обрабатывать любые предъявляемые ему объекты, хотя бы и определимые в данной схеме. В формальной схеме невозможно решить, есть бог или нет, что раньше, курица или яйцо, или кто виноват, правительство или избравший его народ. Можно сказать, для формальной логики пресловутое третье - это диалектика, выясняющая различные степени важности разных причин и связей. В математике же теоремы по степени точности не различаются.

Итак, математика изучает принципы и результаты деятельности вообще, как бы вырабатывая заготовки для описания реальной деятельности и ее результатов, и в этом заключается один из источников ее универсальности. Уместные применения математики для «не совсем той» деятельности на «не совсем том» материале возможны, поскольку в связи с относительной устойчивостью ощущений приемлемы не абсолютно точные результаты. Это второй источник универсальности математики. Если бы в приложениях требовался абсолютно точный результат, то математика не только не оказывалась бы универсальной, но и вообще никогда не была бы чему-либо адекватной и полезной, исключая случай абсолютно точной естественной модели (описывающей тогда всю реальность вместе со всеми «начальными условиями») и соответствующей исчерпывающей математики, что, разумеется, нереально. Именно в верном отражении общих аспектов деятельности, в удовлетворительности приближенных результатов а также в общей, так сказать, причинности материального мира и заключается (не совсем, конечно, понимаемый) источник «непостижимой эффективности математики в естественных науках» (Е.Вигнер [1]). Приложения математики, имитирующей деятельность и предсказывающей на моделях ее результаты, успешны в той же мере, в какой может быть успешной сама деятельность. Если кто-нибудь понимает, почему мы уверены, что, ударяя молотком, мы можем забить гвоздь, он может считать, что отсюда очень недалеко и до понимания причин эффективности математики.

Таким образом, проясняется отношение математики к реальности. По этому вопросу существуют разные мнения. Одни считают математику чистым порождением ума, не связанным происхождением и сущностью с реальным внешним миром. Другие полагают, что она отражает реальные связи, существующие в нем. Дискуссии, ведущиеся на таком уровне, бесплодны. И те, и другие и правы, и неправы. Само возникновение таких полярных позиций свидетельствует о вкладе в порождение математики как объективной реальности, так и субъективного фактора, что и отражается в появлении этих позиций при абсолютизации того или иного вклада. Правда, обычно сторонники одного из этих взглядов чувствуют также весомость противоположного, но дальше этого дело не идет.

Кажущаяся безотносительность математики к любой реальности - «математика сама по себе» - связана с тем, что комбинирование различных исходных положений и действий с ними в математической работе действительно весьма произвольно и формально попросту постулируется - вопрос о том, существуют ли подобные положения и связи в реальном мире, выходит за рамки математики и в ней не рассматривается. В принципе она может не выбирать в качестве материала что-либо из наблюдаемого, а работать с чем-то выдуманным, мифическим - от этого она не перестанет быть математикой. Но хотя в этом плане математика и не имеет обязательного прямого отношения ко «внешней» реальности, сами принципы, по которым она работает, порождены реально существующими принципами деятельности, порождены реальностью отношений субъекта с предметом его работы, и в этом смысле математика отражает объективное. Она отражает не принципы «чистого мышления», буде таковое возможно, а принципы деятельности - принципы выработки реакции субъекта на обстоятельства материального бытия.

С другой стороны, обычный объективистский взгляд на объекты, являющийся метафизической абсолютизацией одного из факторов, порождающих объект, а именно - отождествлением объекта, выделяемого деятельностью с данным материалом, с самим этим материалом, по крайней мере неявное представление о зеркальности отражения отбрасывает моменты, связанные с деятельностью и ее субъективным аспектом, и тем самым все связи, возникающие между объектами и классифицируемые математикой, приписывает только объективному, реально существующему во внешнем по отношению к субъекту мире. Бытовавшие прежде ссылки на реальность в доводах за или против неэвклидовой геометрии основывались на неверном понимании предмета математики, на непонимании исходной модельной произвольности анализируемых объектов и действий, на совершенной необязательности отражения в математических построениях реальных, действительных свойств внешнего мира.

Против изложенной здесь критики «реалистического» представления о математике может возникнуть возражение типа следующего. Как же математика не отражает непосредственно внешнего мира, не вытекает из его свойств и не «обогащается» им, а только изучает следствия применения специфических принципов деятельности к модельному материалу, если, например, она успешно применяется к описанию движения тел или, скажем, колебательных процессов? Где у колебаний струны, вызываемых ее упругостью, деятельность субъекта? Но, во-первых, в данном выше схематичном определении сути предмета математики не отвергается возможность работы в ней с материалом, характер которого подсказан наблюдениями. Во-вторых, непосредственный итог наблюдения не есть зеркальное отражение реальностей внешнего мира, а есть только некоторым образом вырезанный и приглаженный аспект этих реальностей, без вырезания и приглаживания сам по себе, самостоятельно четко выделенный, не существующий. Никакой строгой периодичности колебаний, какую мы видим у математической струны, в природе нет. Просто так из внешнего мира математика (как и формальная логика) ничего не берет. Что же касается способности математики предсказывать разумные результаты, например, при интерполяции, то причина этой успешности, как сказано выше, зарыта там же, где и воспроизводимость забивания гвоздя - ведь ударяем мы каждый раз, строго говоря, по-разному и при разных обстоятельствах.

И физика пользуется математикой - более или менее широкой и согласованной системой типичных для деятельности структур, операций и эффектов - именно постольку, поскольку сама получает свои данные в деятельности и должна (только так и может) их выразить в ее (деятельности) терминах. Соответственно, и оправдание объективистского понимания физических законов ссылками на возможность или необходимость их выражения на языке вневременной и абсолютной математики несостоятельно и ложно.

Ввиду того, что математика изучает результаты произвольной деятельности, ограничиваясь лишь использованием характерных для деятельности принципов отделения одного от другого, непротиворечивости, той или иной определенности результата, не возникает собственно математических предпочтений ни развитию аппарата на базе теории множеств, ни «конструктивистским» построениям, и т.д. Выбор таких схем должен производиться извне математики в основном, видимо, по удобству, мощности и эффективности схемы в соответствующей сфере приложений желательно с предварительным анализом адекватности схемы реальному состоянию дел.

Следует подчеркнуть существенное отличие математики от наук о природе. Формальное постулирование в математике исходных принципов, положений и свойств объектов на языке деятельности может приводить к определенным результатам при некоторой конечности свойств материала: постулируемые свойства должны быть такими, чтобы их можно было указать согласно некоторому правилу. Во всяком случае конечность материала в каком-то роде должна быть, иначе результат формальным и замкнутым образом получен быть не может. Но тогда материал, с которым работает математика, не может быть аналогом неисчерпаемой реальности, с которой работает, скажем, физика. Аналогом этого материала могут быть объекты, структуры физики, выделенные ею (не зеркально) из неисчерпаемой реальности, т.е. конечные (обозримые аппаратом) объекты. Своими средствами математика не способна получить для себя материал из внешнего мира. Физика же, работая неформально, это делает, что частенько озадачивает и раздражает «строгих» математиков. Но при этом она не может делать выводов без риска ошибиться. Физика может ошибаться, но способна получать полезный результат и продвигаться вперед в обстоятельствах, непосильных для безошибочной математики (так же соотносятся диалектическая и формальная логики). Никакой этап подлинного физического изучения мира никогда не начинается с отбора полного набора аксиом. Никакой набор аксиом не может охватить свойств мира, а без этого формальные выводы результатов невозможны. Вследствие привычки к такой практике физики довольно часто не удосуживаются представить результаты своих работ в замкнутом виде даже когда это возможно, а уж при изложении пути к этим результатам лишь молчаливо подразумевают (если вообще осознают) наличие решающих неформальных шагов в своих действиях.

Таким образом, в идеале математика из конечного получает конечное формальным образом, а физика (как и все другие науки о природе) конечное получает из бесконечного и формально необозримого, но закономерного, причинно обусловленного, обязательно совершая и неформальные шаги. Не лишено оснований опасение, что чрезмерное стремление к аксиоматизации курсов физики способно создать у изучающих ее превратное о ней представление как о разделе математики и воспрепятствовать достаточному развитию у них физической интуиции и совершенно необходимой для физика (по большому счету) способности находить плодотворные неформальные решения.

«Математики имеют дело только со структурой рассуждений, и им в сущности безразлично, о чем они говорят. ј Другими словами, математик готовит абстрактные доказательства, которыми вы можете воспользоваться, приписав реальному миру некоторый набор аксиом. Физик же не должен забывать о значении своих фраз. Это очень важная обязанность, которой склонны пренебрегать люди, пришедшие в физику из математики. Физика - не математика, а математика - не физика. ј в физике вы должны понимать связь слов с реальным миром» Так говорил Фейнман [2, стр. 55-56].



1. Вигнер Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках // Этюды о симметрии. - М.: Мир, 1971.

2. Фейнман Р. Характер физических законов. - М.: Мир, 1968.

Из книги Губина В. Б. "Физические модели и реальность. Проблема согласования термодинамики и механики"
Комментарии: 0