Scisne?

Математический спор о струне

Илья Щуров

Комментарии: 0
Когда понятие «функция» было введено в научный оборот? Какие были предложены решения задачи о колебании струны? Какие существовали подходы к понимаю функции? И как развивался спор о струне? Об этом рассказывает математик Илья Щуров.


В XVIII веке началась одна из самых известных научных дискуссий, которая сыграла решающую роль в становлении современной математики. Понятие функции, известное сегодня всем со школьной скамьи, устоялось после целой череды споров между учёными, и споры эти в общей сложности продолжались более двухсот лет.

Жан Д'Аламбер
Жан Д'Аламбер

Предпосылкой к дискуссии стала задача прикладного характера - вывести и решить уравнения, которые описывают колебания струны. Дальше всех в этом вопросе продвинулись француз Жан Д’Аламбер и швейцарец Леонард Эйлер. Они получили, по сути, одинаковые решения волнового уравнения, которые зависели от произвольных функций. Однако, что есть функция, математики трактовали по-разному: Д’Аламбер использовал алгебраическую формулировку, исходящую от Пьера Ферма и Рене Декарта и полагал, что функция есть аналитическое выражение, справедливое для всех вещественных чисел. Эйлер же был более дальновидным и, в отличии от Д’Аламбера, уделял большое внимание физическому смыслу решений (что не очень нравилось первому). Из-за этого Эйлер полагал, что функцию следует задавать кривой, "начертанной свободным движением руки", то есть фактически ссылался на определение функции, как величины, изменяющейся с течением времени. Это определение восходило к Исааку Ньютону и Исааку Барроу (учителю первого).

Леонард Эйлер
Леонард Эйлер

Такой подход давал возможность рассматривать более широкий класс функций, однако для математики того времени он был нестрогим. Более того, такой механико-геометрический подход не содержал эффективных методов работы с подобными функциями, а больше полагался на геометрическую интуицию и фантазию математиков, которая позволяла им придумывать свой особый метод для каждой конкретной задачи.

Даниил Бернулли
Даниил Бернулли

Пока математики спорили о математическом, Даниил Бернулли подошел к вопросу с точки зрения физики. Он критиковал и Эйлера, и Д’Аламбера за их чрезмерную математическую строгость и, основываясь на опытных наблюдениях, высказал гипотезу о том, что колебание струны можно представить, как некоторую комбинацию обычных гармонических колебаний, которые были известны и физикам, и математикам того времени. Однако, Даниил Бернулли не был настолько силён в математике и не смог строго доказать свою гипотезу.

После него это уже в XIX веке сделал Жан Фурье, который получил разложение функции в тригонометрический ряд, занимаясь вопросами распространения тепла в твёрдом теле. Его подход к описанию тепловых явлений, кстати говоря, был принят далеко не сразу - после доклада в Парижской Академии Наук ни Лагранж, ни Лаплас, ни Пуассон, ни Био не дали положительный отзыв и долго критиковали Фурье.

Жан Фурье
Жан Фурье

Одним из камней преткновения в споре также стал вопрос об "изломах" функций. Наличие излома в начальных условиях (например, когда струну взяли в одном месте и сильно оттянули) функции говорило о том, что функция не дифференцируема в точке излома. Д'Аламбер сильно противился тому, чтобы рассматривать такие функции - он считал, что рассматривать нужно только функции, дважды дифференцируемые в любой своей точке. Эйлер напротив, настаивал на рассмотрении "ломаных функций", заявляя о том, что анализ функции нескольких переменных существенно отличается от анализа одной переменной.

Этот вопрос был с технической стороны разрешен Жаном Фурье - он нашел выражение для разложения в тригонометрический ряд в том числе и "ломанных" функций, однако другая часть вопроса так и оставался нерешенной - говоря на языке математики, начальные условия волнового уравнения могли задаваться негладкими функциями (например то же условие того, что струна сильно оттянута в одной точке) и математики не знали, будут ли решения уравнений гладкими или негладкими функциями.

Сергей Соболев
Сергей Соболев

Проблема негладкости начальных условий была в полной мере разрешена только в XX веке Сергеем Соболевым (30-е года) и Лораном Шварцом (50-е года) и лишь благодаря появлению теории обобщённых функций.

Обобщённые функции своим появлением обязаны не только Эйлеру и Д'Аламберу, которые начали спор о струне, но и во многом физикам, которые привнесли эмпирический факт в математику: невозможно узнать точное значение некоторой величины (которая математически описывается функцией) в точке (например, мгновенную скорость: её можно только вычислить, а измерить - лишь определяя среднюю скорость на малых промежутках времени). Вместо точного измерения физики измеряют величину в достаточно малой окрестности точки и именно этот принцип лёг в основу понятия обобщённой функции.

В итоге оказалось, что всё таки подход Эйлера к понятию функции как величины, изменяющейся с изменением другой величины, оказался верным - он лишь нуждался в строгом обосновании, которое появилось только в XIX веке и в дальнейшем обобщении, которое появилось уже в ХХ веке.

Лоран Шварц
Лоран Шварц

Спор о струне сыграл невероятно важную роль в развитии математики - кроме, непосредственно, математического анализа, теории функций и дифференциальных уравнений, прогресс произошел в теории рядов (представление Фурье). В свою очередь исследование сходимости рядов Фурье в дальнейшем привело к развитию теории множеств, которая в свою очередь послужила фундаментом для функционального анализа. Функциональный анализ, в свою очередь, нашел широкое применение в прикладной деятельности человека - начиная от статистики и актуарной математики и заканчивая физическими приложениями, которые тесно переплелись с теорией обобщённых функций: первые отсылки к обобщённым функциям появляются у Максвелла, затем - у Хевисайда в их исследованиях электричества и магнетизма, а после того - у Дирака в квантовой механике и квантовой теории поля.

А мораль рассказа такова: никогда нельзя предугадать, к чему приведёт то или иное научное исследование и насколько большую пользу оно принесёт человечеству.
Комментарии: 0