Scisne?

Решена задача о непериодичном замощении плоскости фигурами одной формы

Комментарии: 0
Предложен вариант непериодичной мозаики, покрывающей плоскость, в котором используются плитки одной формы, но двух различных раскрасок.

Двое ученых из Университета Дьюка (США) предложили свой вариант непериодичной мозаики, полностью покрывающей плоскость, с использованием плиток одной формы.

Проблеме непериодичного замощения плоскости около пятидесяти лет. Первый набор плиток, состоящий из 20 426 фигур, представил в 1966 году математик Роберт Бергер; через некоторое время он, впрочем, сумел сократить число необходимых плиток до 104. Самое известное решение этой проблемы — мозаика Пенроуза — появилось в семидесятых годах прошлого века и использует всего две различные фигуры.

Плитки, их раскраска и правила замощения плоскости (здесь и далее иллюстрации авторов работы).
Плитки, их раскраска и правила замощения плоскости (здесь и далее иллюстрации авторов работы).
Авторам рассматриваемой работы для решения задачи хватило одной фигуры — правильного шестиугольника (см. рисунок справа). При укладке таких плиток черные линии не должны прерываться, а флажки в вершинах шестиугольников, которые находятся на расстоянии, равном длине одной стороны плитки (на рисунке отмечены стрелками), должны смотреть в одну сторону.

Ученые использовали, строго говоря, две различные раскраски: вторая получается при отражении первой относительно вертикальной линии. Без второго варианта раскраски, впрочем, можно обойтись, если плитку сделать трехмерной. Замощение плоскости такими плитками показано на одном из расположенных ниже рисунков; для удобства представления те флажки на шестиугольниках, которые смотрят влево, заменены здесь фиолетовыми линиями, а флажки другого типа — красными.

В своей работе авторы также приводят примеры плиток, которые дают непериодичное замощение при учете одной лишь их формы: в этом случае пропадает необходимость устанавливать правила соединения, связанные с раскраской. В двумерном варианте такие плитки состоят из нескольких изолированных областей, но в трехмерной версии все их части связаны друг с другом.

Непериодичное замощение плоскости шестиугольниками. Плитки с одним типом раскраски показаны серым, с другим — черным.
Непериодичное замощение плоскости шестиугольниками. Плитки с одним типом раскраски показаны серым, с другим — черным.

Трехмерный вариант плитки.
Трехмерный вариант плитки.

Непериодичное замощение плоскости двумерными плитками без раскраски. Области, выделенные одним цветом, вместе составляют одну плитку.
Непериодичное замощение плоскости двумерными плитками без раскраски. Области, выделенные одним цветом, вместе составляют одну плитку.

Плитки, которым не требуется раскраска, в трехмерном случае.
Плитки, которым не требуется раскраска, в трехмерном случае.

Препринт статьи можно скачать с сайта arXiv.

Подготовлено по материалам Technology Review.

Источник: «Компьюлента-Онлайн»
Комментарии: 0