Scisne?

Математика и ботаника

Программа Гордона

Комментарии: 0

Насколько хорошо мы знаем разнообразие окружающих нас растений, и насколько адекватно можем его описать? Можно ли применить методы современной математики для анализа информации о природе растений? О фрактальной геометрии и мире растений - биолог Алексей Оскольский и математик Дмитрий Соколов.

Содержание

^

Стенограмма

Дмитрий Соколов: Эта история началась года три назад, когда я впервые познакомился с Алексеем Асафьевичем и как-то впервые понял, что действительно между математикой и систематикой растений есть нечто общее. Исходным пунктом является очень большая сложность разнообразия растений. Как ни странно, книжка, по которой определяют одуванчики – это такой увесистый том, который человек с трудом поднимает. А у Алексея Асафьевича есть такой сослуживец – Саша Сенников, мы с ним гуляли на ботанической экскурсии в Нескучном саду, и он на моих глазах нашёл новый вид ястребинок для Москвы и Московской области. А потом мы перешли по мосту через Москва-реку, а на другой стороне такая старая усадьба, по-моему, князей Оболенских, он там нашёл новый для Москвы и Московской области вид одуванчика. Это показывает, насколько это ещё не исследованная область. И это биоразнообразие очень многомерно. Оно и в геологическую историю простирается, мы же не только мгновенный его срез должны изучать, но и распространение по Земле. Мало знать, какие вообще есть виды растений. Нужно знать, какие есть растения здесь и сейчас, и как они сюда заносятся. На насекомых это нам даже лучше известно. Вот к нам проник колорадский жук, и каждый, кто выпалывает картошку на своём участке, знает, что это такое. Он проник и распространился по нашим местам. А также распространяются и растения. Это, пожалуй, самый такой простой момент общности интересов между математикой и ботаникой. Эта область ботаники называется «флористика», она изучает, что где растёт. У меня есть такая хорошая научная знакомая Люда Хорун из Тулы, она собрала за двести лет базу данных по заносным растениям в Тульской области. Она действительно, как говорят математики, представительная. По ней можно количественно изучать, как в Тульскую область заносились виды растений.

Замечательно, что как только её начинаешь количественно обрабатывать, там немедленно видно – вот произошла революция в 17-м году, в 80-х годах народное хозяйство Советского Союза работало в перенапряжённом ритме, потом произошёл экономический кризис. Это там прекрасно видно. Насколько я знаю, это первая такая полная база данных. Её действительно можно количественно обрабатывать. Это сравнительно простые приёмы обработки. Мы дальше будем говорить про более такие…

Александр Гордон: Скорее качественные, чем количественные.

Д.С. …экзотические вопросы. Но в принципе, математика вполне в состоянии описывать количественно динамику заносных видов, то, как они распространяются. Довольно хорошо развит математический аппарат, который мог бы это описывать и дело за реальными данными и за желанием. Меня, надо сказать, совсем не научная сторона вопроса очень поражает. Вызывает затруднение финансирование этих работ, там требуются совершенно смехотворные деньги, порядка трех тысяч долларов в год, чтобы деятельность этой группы поддерживать. Мне трудно представить, что с этим могут быть затруднения, а они есть на самом деле. Не так там много в Тульском университете групп, которые работают на таком интересном уровне.

А.Г. Это вечная боль… Тут три тысячи рублей иной раз трудно бывает получить.

Алексей Оскольский: Тут может создаться впечатление, что Дмитрий Дмитриевич – ботаник, а я математик, хотя на самом деле это не так. Собственно, если обращаться к предыстории этой передачи, то она началась, наверное, со школы по теоретической морфологии растений, состоявшейся в Петербурге в 2001 году. В её организации я принимал участие. Мы тогда пригласили Дмитрия Дмитриевича сделать доклад о фракталах. Концепция фракталов очень популярна, фракталами интересуются и морфологи растений, поэтому нам хотелось услышать что-то более квалифицированное об этом предмете. Доклад Дмитрия Дмитриевича спровоцировал тогда тот самый спор, в котором может родиться истина или, по крайней мере, понимание чего-то нового. Нам был предложен некий математический язык, который позволил лучше описывать, а значит и лучше решать некоторые из насущных проблем ботаники. Про них мы и хотим сейчас поговорить.

А.Г. Пожалуйста.

А.О. Ну, а сейчас я хотел бы немножко иллюстрировать те проблемы, которые волнуют ботаников. В народе есть ощущение, что ботаника – это наука века 19-го, что практически всё уже открыто, и сейчас что-то где-то там уточняется на уровне третьего знака после запятой. Но это не так. Некоторые сенсационные, без преувеличения, открытия в ботанике сделаны в течение последних десяти лет. Вот покажите, пожалуйста, первую картинку.

Здесь на экране изображена веточка растения, дерева под названием Ti-codendron. Это родственник берёзы, ольхи или лещины (лесного ореха), относится к семейству берёзовых. Растёт Ticodendron в Центральной Америке. Обратите внимание на то, какие у него плоды. У нашей берёзки-то это орешек с крылышком, здесь же это сочная костянка, как у абрикоса. Тем не менее, это родственник берёзы. Так вот, в Центральной Америке, в трех странах Ticodendron – это лесообразующая порода, однако ботаниками он открыт только в начале 90-х. Покажите, пожалуйста, следующую картинку.

Это ещё более сенсационное открытие, сделанное в 1989-ом году. Это La-candonia schismatica, растение-паразит. Растение не зелёное, не имеющее хлорофилла и питающееся на корнях других растений. Тоже из Центральной и Южной Америки. Но самое удивительное – это цветок Lacadonia, в котором тычинки находятся внутри, пестики расположены снаружи. То есть это растение опровергает все основные каноны морфологии цветка.

Вот, пожалуйста, ещё следующая картинка. Это дерево хвойное дерево, новый род хвойных под названием Wollemia. Вы, наверное, знаете о араукариях. Их иногда выращивают у нас в комнатах. Это хвойные деревья, но с довольно широкими листьями. Так вот, Wollemia – это новый род хвойных, который найден в 1994-м году в национальном парке Волеми, в 200-х километрах от города Сиднея, в Австралии. Город Сидней не маленький, окрестности его достаточно хорошо исследованы. Вообще, австралийцы очень любят и знают природу, свою флору. Я был в Австралии, так по ходу могу сказать, что там знать растения так же престижно, как у нас, скажем, знать русскую классическую литературу. Это предмет национальной гордости. Тем не менее, в двухстах километрах от Сиднея до последнего времени росло дерево, о существовании которого ботаники не знали. Причём его ископаемые остатки были известны аж с мелового периода.

А.Г. То есть это кистепёрая рыба ботаники.

А.О. Ну, кистепёрая рыба всё-таки подревнее немножко. Но, тем не менее, хвойных не так много, и открытие нового рода хвойных – это достаточно интересное событие.

И покажите, пожалуйста, следующую картину. Вот Archaefructus, справа отпечаток, слева – реконструкция. Это самое древнее из известных растений, которые надёжно можно отнести к цветковым. Считается, что цветковые появились в меловом периоде. Это растение найдено в самых верхних слоях юрского периода в Восточном Китае. И найдено совсем недавно, я не помню точно год, но это 90-е годы. К сожалению, до наших дней

Archaefructus не дожил, но это открытие действительно можно сравнить по значимости с открытием кистепёрой рыбы.

Д.С. На самом-то деле с такими проблемами ботаники без помощи математиков справляются. А вопрос-то стоит в том, что нужно разобраться с теми структурными единицами – таксонами, как говорят специалисты – где разобраться трудно. Этих одуванчиков, как говорится, чёртова уйма. Отличаются они, с одной стороны, значимо, а, с другой стороны, это очень сложная система. И тут, прежде всего, по-видимому, нужно поговорить о том, что такое вид, что мы, собственно, хотим узнать. А вещь это крайне непонятная.

А.О. Положение таково, что мы часто говорим об охране того или иного вида, об исчезающих видах. Но при этом большинство людей не знает, что само понятие вид в ботанике, вообще в биологии, чрезвычайно проблематично. Что, собственно, такое вид? Есть разные концепции вида, весьма противоречивые. В систематике растений есть такое негласное определение, что вид – это то, что считает видом систематик, компетентный в данной группе растений. Так вот, наши дискуссии с Дмитрием Дмитриевичем позволили предложить язык для описания и немножко лучшего понимания, что такое вид. Как ни странно, тут-то помогла геометрия фракталов.

Д.С. Вообще завет, которому нужно следовать, когда пытаешься применить математику где-нибудь вне её поля деятельности, такой: сначала нужно очень долго и внимательно слушать, что говорят специалисты. Очень плохо, когда математик идёт и начинает предлагать от того места, что он знает. А лучше всегда сначала очень-очень долго слушать, что говорят. Я в этом смысле нахожусь в тепличных условиях, у меня сын специалист по систематике растений. Я, собственно, через него познакомился с Алексеем Асафьевичем, и у нас дома такой постоянно действующий семинар по интересным вопросам науки.

А.Г. Повезло вам, да.

Д.С. Понимаете, создаётся действительно до некоторой степени парадоксальная ситуация. Вот московская школа ботаников видит гораздо меньше видов, чем санкт-петербургская, ленинградская школа ботаников. Само количество видов зависит от точки зрения. Такие на самом деле ситуации в математике известны. Тут немножко сбивает с толку то, что если мы попытаемся виды изобразить, как точки в каком-то пространстве, то это пространство лишь умопостигаемое. Я сейчас приведу пример, в котором тоже есть нечто подобное, только там ситуацию легче визуализировать. Можно следующую картинку?

Сейчас будет такая штука, которая называется «шкала геомагнитной полярности». Так в геологии принято показывать время. Это ось времени, разрезанная на три кусочка. Ось времени за 160 с чем-то миллионов лет. Указаны промежутки времени, когда ось магнитного диполя имела такое же направление, как сейчас. Они черненьким показаны. А беленьким – когда она была направлена прямо противоположно. Оказывается, что в ходе геологической истории ось магнитного диполя Земли быстренько переворачивается, практически мгновенно по геологическим масштабам.

Казалось бы, простой вопрос: сколько на этом рисунке зарегистрировано смен направлений геомагнитного поля. Казалось бы, совершенно ерундовый вопрос. Возьмём и посчитаем. Оказывается, это очень сильно зависит от того, с каким вы разрешением на принтере напечатаете эту картинку. Это показатель того, что на самом деле число инверсий здесь плохо определено. Число инверсий зависит от временного разрешения. Геологи так и описывают эту ситуацию. Вот есть, как они говорят, хроны, где преимущественно белое направление магнитного поля. Хроны, где были частые инверсии. Хроны, где было черненькое направление магнитного поля. А вопрос о том, сколько было конкретно инверсий, он не вполне хорошо определён. И если мы попытаемся измерять количество этих хрон, то их число будет расти в зависимости от временного разрешения заметно, степенным образом. Вот такие множества, они называются «фрактальными».

Это вообще интересная история. Слово «фрактал» вошло в науку с подачи учёного наших дней – Мандельброта, а на самом деле идея была высказана в 18-м году замечательным математиком Феликсом Хаусдорфом. Только он таких слов хороших не знал. Он сформулировал понятие «дробной размерности», мы его попозже посмотрим на других картинках. Множество точек на временной оси, когда случались инверсии, это множество с дробной размерностью. Оно занимает промежуточное положение между дискретным набором точек и непрерывной прямой. Все признаки того, что нечто подобное случается в гораздо более сложном пространстве признаков видов, налицо.

То есть складывается впечатление, что вопрос о том, сколько видов бывает одуванчиков поставлен не совсем правильно.

А.О. Или сколько видов во флоре Московской области.

Д.С. Да, сколько видов одуванчиков во флоре Московской области – это не совсем корректный вопрос.

А.О. Не обязательно одуванчиков, а вообще, сколько видов растений во флоре Московской области.

Д.С. По-видимому, какие-то хорошо определённые виды, разграниченные, организуются в роды, семейства, и так далее, а есть места в этом биологическом разнообразии, где эта структура выражена хуже. Здравый смысл подсказывает, что, наверное, там и происходит развитие биоразнообразия.

А.О. Как раз ваш доклад навёл на мысль о том, что вид, помимо того, что он представляет собой некий природный объект, может рассматриваться как место. Именно место. А место – штука, если вдуматься, очень странная. Вот у нас комната, в ней есть места для стула, для стола и так далее. Но мы не можем сказать, сколько в комнате мест. Место – такой странный объект, который устроен фрактально. Стол находится в комнате, в Москве, в России, на земном шаре. И представление о виде именно как о некотором месте в естественной системе, на мой взгляд, достаточно продуктивно. Конечно, вид можно рассматривать как группу особей, которые между собой скрещиваются или обладают какими-то общими признаками. Однако такое топологическое представление вида просто как места может быть полезно и для систематики, и для флористики.

Но сейчас, наверное, стоит перейти к ещё одному сюжету, связанному с применением математики, математических подходов в систематике растений. История с ним достаточно поучительна. В 1960-е годы немецкий энтомолог Вилли Хенниг разработал некоторый алгоритм для определения родственных отношений между группами организмов. Покажите, пожалуйста, следующую иллюстрацию.

Систематик работает с матрицей данных. Я здесь просто привёл пример такой матрицы данных. У нас есть четыре самых разных организма: лягушка, черепаха, ворона, кошка. И некоторый набор признаков. Здесь для примера пять признаков. У нас есть некоторое представление об эволюции этих признаков, исходящее из каких-то общебиологических представлений. И мы можем чисто формально построить так называемую «кладограмму», то есть дерево, иллюстрирующее родственные связи между данными организмами. Здесь получается, что положение вороны при данном наборе признаков оказывается несколько противоречивым, в то время как положение черепахи или кошки более-менее понятно. К кому ближе ворона – к кошке или к черепахе? Я подчёркиваю, это пример достаточно умозрительный. Реально всё сложнее. Но здесь возможны два варианта. С кошкой ворону сближает теплокровность, с черепахой её сближает сухая кожа, кожа, лишённая желез. И как раз существуют вычислительные алгоритмы для подобных операций, для построения подобных деревьев, и когда таких признаков и таких групп организмов сотни, то и таких неясных ситуаций тоже накапливается много. И поэтому долгое время систематики относились с большим скепсисом к таким кладистическим подходам. До 90-х годов, когда были усовершенствованы методы молекулярной биологии, и секвенирование, то есть определение последовательности ДНК, стало, в общем, рутинной лабораторной процедурой. Если не в России, по бедности, то на Западе. Сейчас это вопрос денег и небольшого количества рабочего времени. И как оказалось, сейчас…

Д.С. Но всё-таки в России тоже возможно…

А.О. Сейчас у нас, слава Богу, это тоже вполне возможно. В Москве существует лидирующая группа по молекулярной систематике под руководством Андрея Сергеевича Антонова при Московском университете…

Д.С. Да, я как представитель Московского университета не могу молчать…

А.О. Мы в нашем Ботаническом институте очень гордимся, что этой зимой мы провели первый секвенс, наконец-то освоили. То есть одно дело Москва, другое дело – остальная Россия. Это тоже не надо забывать.

Д.С. Ну, не надо… У вас всё-таки лидирующий ботанический институт в России…

А.О. Сейчас вопрос о чисто техническом оснащении. Так или иначе, обнаружились объекты, которых можно брать много, строить матрицы данных с очень большим числом равновесомых признаков. Тот нуклеотид или иной нуклеотид в данной позиции – вот вам и признак. Этих нуклеотидов тысячи. И если для морфологических признаков, которые видны простым глазом, этот подход действительно не очень работал, во-первых, потому что признаков не так много, а во-вторых, а может быть, даже во-первых, потому что эти признаки заведомо неравнозначны, и вообще любой объект мы можем расчленить на неопределённое число признаков, то последовательности ДНК дают нам совершенно объективное расчленение на чёткие и равновесомые признаки. И вот сейчас молекулярная систематика стала достаточно мощной областью, она уже прочно вошла, собственно, в ботанику. Хотя это и порождает определённые проблемы. Тут, наверное, вы расскажете лучше…

Д.С. Вы знаете, тут просто целый комплекс очень интересных математических задач. Во-первых, эти все алгоритмы требуют совершенно бешеного машинного времени. И в особенности оно нужно для того, чтобы сделать результаты по-настоящему убедительными. Даже несмотря на то, что сейчас персональные компьютеры очень быстро работают, эта задача явно не для персональных компьютеров. Очень здорово, что мы не только в молекулярной биологии проходим этапы технического совершенствования, но и в вычислительной математике. И буквально за последние года два, наверное, может, три стало реальным систематически пользоваться компьютерными кластерами. А эти задачи буквально идеально приспособленные для компьютерных кластеров. Тут нужно опробовать много вариантов кладограммы, дерева, которое мы смотрели. И можно очень здорово распараллелить эти задачи, поручить разным процессорам компьютерным изучать разные варианты. Вообще говоря, когда вы собираете кластеры из большого числа компьютерных процессоров, очень-очень не просто сделать так, чтобы они все были эффективно загружены. У нас сейчас в университете в вычислительном центре появился такой достаточно мощный кластер, а есть и в Академии наук, и в других местах. Это очень серьёзная область математики, как сделать хорошую загрузку разных процессоров.

Есть другая проблема. Классическая вычислительная математика сначала была проговорена и продумана ещё в докомпьютерную эпоху, когда сначала долго объясняли, как этот алгоритм работает и почему его так надо организовывать, а не как-нибудь по-другому. Я верю, что те, кто писал кладистические программы, хорошо понимают, почему они должны работать именно так. Но это знание, оно в очень многом не очевидно. И вот для компьютерной реализации это очень необычная ситуация, когда вроде бы есть работающая программа, а как она точно работает и почему – пользователи затрудняются объяснить. Ну, с этим тоже, по-видимому, удастся сладить. Но в целом это очень привлекательная задача – сделать так, чтобы эти программы пошли на кластерах параллельных компьютеров и чтобы действительно мы понимали не просто рецептурно, как она работает, а концептуально.

А.О. К сожалению, очень немногие систематики, пользователи подобных программ, вообще задаются вопросом: а что там внутри этой программы? То есть признаки грузят, на выходе получают кладограмму. Она им нравится или не нравится, и какие-то меняют условия, играют. А смысл того, что внутри, к сожалению, остаётся, как правило, за кадром. Тут возникает масса недоразумений. Лично я смотрю на эти программы и на эти деревья как на своего рода карты, карты разнообразия живого. Это отнюдь не генеалогические деревья, не дерево, которое изображает историю, буквальный исторический сценарий, как развивались данные таксоны, а именно как карта. И, точно так же, как в географии, существуют разные способы спроецировать земную поверхность, которая отнюдь не ровная, на плоскость карты. Существуют разные проекции. Существуют разные системы координат. Аналогично и здесь. Просто разные программы, насколько я понимаю, отличаются способом проецирования эмпирического разнообразия живых организмов на некоторую идеальную плоскость или на некоторое идеальное пространство. Но тут, наверное, можно перейти к распознаванию…

Д.С. Распознавание образов вообще очень тяжёлая область математики, где с большой кровью и с большим трудом даётся прогресс. Есть такие очевидные вещи, которые человек легко решает. Я субъективно уверен, скажем, что вы не марсианин, а объяснить это компьютеру – очень непростая задача. И её, в общем, нужно решать совместно и математикам и биологам. С моей точки зрения, для того чтобы подобные программы начали хорошо работать, должны появиться люди, которые в одной своей ипостаси, скажем, ботаники, а в другой – специалисты, скажем, по вычислительной математике.

Это трудно, но исторически примерно так развивалась, скажем, математическая физика. Были у её истоков такие люди, например, как Андрей Николаевич Колмогоров. Математик, но писал и чисто физические работы. Скажем по теории турбулентности, за которые любому, самому заядлому физику памятник нужно ставить. Нужно, чтобы такие же люди появились у того места, где внедряются компьютерные программы.

А.О. Тогда, может быть, надо говорить немножко иначе. Да, действительно, я уже сказал, что вид – это то, что считает видом компетентный систематик. То есть, виды обычно распознаются «в лицо». И для того чтобы научить распознавать других людей, несистематиков, указываются идентификационные признаки, определительные признаки. Но часто эта задача достаточно сложна. Здесь и нужно помочь несистематикам распознавать виды. Вот это – запрос от ботаников к математикам, который, как я понимаю, пока не вполне удовлетворён.

Д.С. Вполне не удовлетворён.

А.О. Что касается вашего рассуждения, я думаю, что сейчас появляется определённого рода профессия под названием «когнитология», наука об интервьюировании экспертов. Мы имеем дело не с субъективным, а так называемым экспертным знанием, и задача когнитолога поговорить, понять, раскрыть опыт, личный опыт эксперта, и формализовать его в таком виде, чтобы представить его в виде компьютерной программы.

Но теперь нам, наверное, стоит перейти к области ботаники, в которой нужда в применении математики прямая и непосредственная, это морфология растений. Когда речь идёт о форме растений, то тут само напрашивается применение геометрии. Здесь вот существуют разные подходы, один из них развивается в Москве, в Зоологическом музее при Университете, где работает Игорь Яковлевич Павлинов. Он пропагандирует подход под названием «геометрическая морфометрия». Его статью об этом я прочитал буквально три дня назад в «Журнале общей биологии», в самом последнем выпуске. Подход в том, что описывается разнообразие формы некоего органа или целого организма, а затем выявляются правила топологического преобразования этой формы. Я видел эту работу, она любопытна, но пока лично я не знаю, как осмысленно применить этот метод для себя, для моих узких задач. Но я надеюсь, что, может быть, для распознавания видов он может быть и применён.

Д.С. Морфология, которая является одним из базисов систематики, – наука о форме, и геометрия тоже наука о форме, только морфология растений – наука о форме растения, геометрия – наука о форме вообще. Тут общность интересов очевидна. Вопрос в том, как развить те геометрические подходы, которые действительно нужны. И тут мы ещё раз выходим на применение фракталов. Действительно, многие растения демонстрируют нечто похожее на фракталы. Фракталы – это не просто объекты промежуточной размерности, это, как правило, объекты, у которых есть, как говорят, самоподобие. Они в малом устроены так же, как в большом.

А.Г. Значит, он опознаётся по любому участку.

Д.С. Да, опознаётся. Но нужно, наверное, иллюстрацию показать какую-нибудь.

А.О. Использование фрактальных подходов в морфологии растений, в большой мере было подготовлено морфологическими исследователями французских ботаников. С одной стороны, это так называемая концепция архитектурных моделей, которая была предложена французскими ботаниками Алле и Олдеманом в 70-е годы. Эти ботаники долгое время работали во Французской Гвиане. Они столкнулись с необходимостью описывать структуру вегетативного тела тропических деревьев, но у них не было концептуального аппарата. Оказалось, что та морфология растений, те концепции, которые сложились у нас в Европе, в лесах умеренного пояса, в тропиках не работают. И тогда Алле и Олдеман предложили концепцию так называемых архитектурных моделей. Дерево рассматривается как конструкция, состоящая из модулей, которые в определённой последовательности нарастают друг на друга. Есть разные типы модулей, разные способы нарастания, и модели строятся комбинаторно. То есть, у одних деревьев идёт непрерывное нарастание, скажем, одной вертикальной оси, у других происходит перевершинивание. Одна ось кончается цветком, то есть рост останавливается, у других осей рост открытый. Возможно горизонтальное положение побегов, а возможно и вертикальное. Всего известно 23 архитектурных модели, некоторые комбинации не могут быть реализованы в природе. Фактически, эта такая структуралистская концепция, которая, кстати, развивалась одновременно с работами Леви-Стросса. Я не знаю, читали ли Алле и Олдеман работы знаменитых французских структуралистов-гуманитариев, но наверняка интеллектуальная атмосфера того времени располагала к созданию подобных концепций…

Д.С. Можно я про интеллектуальную атмосферу два слова скажу? Честность научная заставляет сказать, что впервые на это обратил внимание Свифт. У него есть хорошие стихи, которые всегда по этому поводу цитируются. Он не только «Путешествия Гулливера» написал. У него есть ещё замечательные поэмы, рапсодия «О поэзии», в которой он пишет (перевод Маршака):

«Натуралистами открыты
у паразитов паразиты.
И произвёл переполох тот факт,
Что блохи есть у блох.

И обнаружил микроскоп,
Что на клопе бывает клоп,
Питающийся паразитом.
На нём другой – ad infinitum».

Вот такая модульная структура в животном царстве. Надо сказать, Маршак этот отрывок специально подсобрал из разных мест этой поэмы. Мой хороший знакомый Дэвид Мосс из университета Манчестера по моей просьбе изучил, как Свифт это публиковал, и оказалось – в английском оригинале немножко более смазано сказано, а здесь у Маршака – очень здорово.

А.О. Ну, тогда попросим следующую иллюстрацию. Вот другая концепция, тоже пришедшая из Франции, это концепция псевдоциклов. Концепция псевдоциклической эволюции, которая была предложена в 30-е годы французским биологом Госаном. Он обратил внимание, что у многих организмов, не только у растений, но, например, у колониальных животных, наблюдается удивительное сходство частей и целого, и рассмотрел это как общую тенденцию эволюции. Например, вот как на этой иллюстрации. Слева мы видим соцветие простой зонтик, у примулы, например, справа мы видим соцветие сложный зонтик, типичный для зонтичных – морковки или, например, тмина. Здесь видим, что структура повторяется на следующем уровне. Но интересно, что эволюция идёт в направлении, во-первых, упрощения этих частей. То есть, эти простые зонтички в сложном зонтике в процессе эволюции редуцируются до одного цветка. А с другой стороны, вся побеговая система превращается в зонтик следующего порядка. И вот Татьяна Валентиновна Кузнецова, выдающийся морфолог, работавшая на кафедре высших растений в Московском Университете, и, к сожалению, безвременно оставившая нас, специально занималась псевдоциклами у соцветий зонтичных. Она проследила до 5 псевдоциклов у разных зонтичных. То есть, вот пример самоподобия, а заодно и фрактальных свойств (таких как автомодельная симметрия) у соцветий. Это как раз та биологическая концепция, которая просто напрашивается на математизацию.

Д.С. Фракталы вошли в физику, отталкиваясь от свойства самоподобия. Хоусдорф понятие этой самой размерности в 18-м году сформулировал, но это всё-таки была трудная математическая работа. А было такое событие, о котором всегда принято рассказывать. Замечательный гидромеханик Ричардсон во время мировой войны хотел сделать что-то хорошее. Его послали изучить, какова длинна береговой линии Англии. Понятное дело, нужно как-то страну оборонять, нападения с моря бывают. Вот он поизучал-поизучал вопрос и пришёл к выводу, что бесконечная длина у береговой линии.

Это даже лучше видно на береговой линии Норвегии. У нас есть рисуночек с длиной береговой линии Норвегии из известной книжки Федера о фракталах. Видно, что вопрос о том, какова длина той кривой, которая изображена на рисунке, зависит от того, в каком масштабе мы её изучаем. Выбираем квадратики побольше, и, игнорируя тонкую структуру, длина береговой линии одна. Начинаем отслеживать все эти фиорды, всю эту мелочь – длина береговой линии начинает расти. И вот в зависимости от степени разрешения, она растёт больше, больше… И никакого определённого числа нет.

А.Г. То есть это всё-таки конечная величина?

Д.С. Конечно, если вы, совсем, буквально микроскопическими масштабами оперируете, встаёт вопрос, как движется береговая линия во время приливов и отливов. Вопрос теряет просто смысл. Но есть диапазон масштабов, где действительно наблюдается степенная зависимость длины линии береговой от степени разрешения. Да, это действительно очень похоже на то, что получается для растений. Даже в книжках по фрактальной геометрии есть картинки, которые называют листьями папортника. Они возникают, когда люди хотят проиллюстрировать, что такое фрактал. А с другой стороны, люди, которые хотят объяснить, как устроена архитектура растений, буквально такие же картинки рисуют безотносительно ко всяким фракталам. Наверное, стоит показать эти рисунки.

Это картинка более или менее произвольная из того же Федера. Такого характера растения вполне могут существовать.

А.О. Водоросли, конечно.

Д.С. А на самом деле, эта картинка, иллюстрирующая, как происходят построения кластеров химических соединений. А сейчас будут картинки из ботаники. Вот, это очень изрезанная картинка, видны ярусы, как строится организация…

А.О. Самое главное для меня – это впечатляющее самоподобие, то есть сходство части и целого. В чём может быть тут ещё интерес? В традиционной морфологии растений и животных рассматриваются два типа сходства между частями организма – гомология и аналогия. Скажем, рука человека гомологична крылу птицы, потому что эти конечности имеют общее происхождение, хотя и разные функции. Глаз человека аналогичен глазу осьминога. Это значит, что происхождение у них разное, но функция одна. Но в обоих этих примерах всё равно сравниваются именно части. А вот тут, когда мы имеем дело с фрактальными объектами, часть сравнивается с целым. И как раз эти работы дают законное основание для такого рода сравнения. Это несколько нетрадиционно для биологической морфологии.

Д.С. Я впервые об этом узнал от Татьяны Валентиновны Кузнецовой. Она меня пригласила на школу для студентов-биологов кое-что из математики рассказать. Она там блестящий доклад сделала. Я просто тогда был потрясён, потому что всегда думаешь, ну, нарисовали там какие-то красивые картинки математические, а что действительно так бывает в живой природе… Конечно, огромная потеря, что она так рано от нас ушла.

А.О. Как раз, наверное, следующую картинку стоит показать. То, на что вот смотрите, это растение вполне натуральное, смоделированное на основе этих фрактальных подходов. И подобные модели позволяют уже заниматься довольно тонким анализом биологического смысла этой фрактальной организации. То есть, скажем, здесь можно рассмотреть, как листья затеняют друг друга. Или что будет, если верхушку побега отгрызёт какое-нибудь насекомое, как изменится рост. Соответственно, можно моделировать различные стратегии адаптивности, приспособления к условиям среды. То есть эти модели, с одной стороны, красивы и эстетичны, а с другой стороны, приобретают совершенно явный биологический смысл.

Д.С. В таких вопросах очень легко увлечься внешней аналогией. Но на самом деле есть мотивация биологическая, почему фрактальная природа может быть значима. В своё время Галилей обратил внимание на то, что в живой природе должно быть такое ограничение. Представим себе, какие бы мы были, если бы жили на Юпитере. Галилей рассматривает этот вопрос в одной из своих книг. И приходит к выводу, что мы должны были бы быть карликами, потому что объём тела пропорционален кубу размера, а прочность костей пропорциональная квадрату размера. Но не вся правда в этой идее Галилея. На самом деле, если мы организуем такое модульное строение растения и разрешаем ему быть фракталом, то само понятие объёма тела и площади поверхности преобразуются и можно выскочить из этой связки между объёмом и площадью поверхности. Не исключено, что природа пользовалась этой опцией, как говорится.

А.О. Но я бы к этому отнёсся немножко иначе, на мой взгляд, всё-таки все эти фрактальные эффекты – это результат общего строения, общей конституции растительного тела. Для него характерен, во-первых, открытый рост, это значит, что каждый последующий прирост встраивается в предыдущее тело. В этом – их отличие от животных, у которых что-то вырастает, но что-то постоянно теряется. И, с другой стороны, тут важна именно модульная организация. Таковы конститутивные свойства растительной формы, но они относятся также и к грибам также, грибы всё-таки это другое царство, нежели растения. На основе этих свойств мы получаем фрактальные эффекты, подобие частей и целого, и в каких-то конкретных ситуациях они безусловно, имеют приспособительное значение…


^

Дополнительные материалы

Участники:

Алексей Асафьевич Оскольский - кандидат биологических наук, старший научный сотрудник Ботанического института РАН (Санкт-Петербург)

Соколов Дмитрий Дмитриевич - доктор физико-математических наук, профессор физического факультета МГУ им М.В.Ломоносова

Материалы к программе:

Для начала полезно напомнить, что до сих пор открыты не все виды высших растений (то же самое относится, конечно, и к животным, не говоря уже о различных микроорганизмах).

Но это только одна сторона вопроса – оказывается, что за даже за обычными, хорошо знакомыми названиями растений может скрываться огромное разнообразие видов, различаемых с большей или меньшей уверенностью. Например, определитель одуванчиков представляет собой увесистую книгу.

Классическая систематика растений опирается на морфологию, т.е. науку о формах растений. С другой стороны, наука о пространственных формах – это геометрия, область математики. Очень заманчиво привлечь геометрические идеи для того, чтобы не просто различать растения на глаз, а воспользоваться здесь методами точных наук.

В последние несколько десятилетий в геометрии действительно сформировалась область, которая рассматривает подобные вопросы. Это – фрактальная геометрия. В ней изучаются красивые объекты, многие из которых напоминают листья.

Вопрос об использовании методов точных наук в систематике и морфологии становится еще более острым в связи с использованием данных молекулярной биологии (о структуре генома). Эти данные безусловно несут бесценную информацию, но воспользоваться ей не просто – данные классической морфологии наглядны и их можно анализировать, опираясь на здравый смысл, зато они часто качественные, а не количественные. Молекулярные данные количественные, но совершенно не наглядные. Нужны какие-то объективные методы для их анализа. Как устроены компьютерные программы для анализа молекулярных данных?

Почему вообще применение методов математики так хорошо пошло в физике, а успехи математических методов в систематике растений гораздо скромнее?

Комментаторы "Путешествий Гулливера" Свифта отмечают, что между мирами лиллипутов, обычных людей и великанов Бробдингнега педантично выдержано геометрическое подобие с масштабным коэффициентом 12. Свифт внимательно следил за современной ему наукой и, возможно, знал сформулированную столетием раньше идею Галилея о том, что законы природы не инвариантны относительно масштабных преобразований. В самом деле, масса тела пропорциональна L^3, где L – характерный линейный размер тела, тогда как прочность костей пропорциональна L^2. Поэтому скелет великана в 12^2=144 раза относительно менее прочен, чем скелет лиллипута, так что при достаточно большом L великана раздавит вес своего тела. Однако Свифт проницательно описывает и принципиально иную возможность геометрической организации сообщества живых существ:

«Натуралистами открыты
У паразитов паразиты,
И произвел переполох
Тот факт, что блохи есть у блох.
И обнаружил микроскоп,
Что на клопе бывает клоп,
Питающийся паразитом,
На нем другой – ad infinitum»
(О поэзии. Рапсодия. Пер. С.Я.Маршака)

Такая структура, воспроизводящая много ярусов подобных блоков все уменьшающегося размера, называется самоподобной. Свойства самоподобных фигур существенно отличаются от свойств кривых, поверхностей, пространственных областей, других привычных геометрических фигур.

Математики научились изучать самоподобные объекты в середине прошлого века, и результаты их работы широко представлены в курсах математического анализа. Однако по дурной математической традиции эти результаты принято излагать как негативные примеры неспрямляемых кривых, неквадрируемых поверхностей и других отталкивающих объектов.

Важный шаг к количественному описанию самоподобных объектов сделал Г. Минковский, более известный как один из авторов математического аппарата специальной теории относительности. Он указал, как можно единообразным образом ввести понятия длины кривой, площади поверхности и объема пространственной области.

Пусть A – какая-то фигура в пространстве. Окружим все ее точки шариками малого радиуса \varepsilon, так что объединение этих шариков образует новую фигуру A_{\varepsilon}, которая называется \varepsilon-окрестностью фигуры A.

Вычислим теперь объем V(\varepsilon) фигуры A_{\varepsilon}. Нетрудно проверить, что если A состоит из N точек, то V(\varepsilon) \approx N\varepsilon^3. Для отрезка кривой длины L получится V(\varepsilon) \approx 2 \pi L\varepsilon^2. Для области на поверхности, площадь которой равна S, V(\varepsilon) \approx 2S\varepsilon. Наконец, для пространственной области объема V получим V(\varepsilon) \approx V \varepsilon^0.

Минковский предложил считать эти соотношения подобия определениями длины кривой, площади поверхности и объема. Внимательный анализ показывает, что определения Минковского слегка отличаются от тех, которые изучаются в курсе математического анализа, но очень удобны во многих задачах.

В курсе математики учат, что не всякая кривая имеет длину, не всякая поверхность имеет площадь, а не всякое тело – объем. Великий математик Ф. Хаусдорф в 1918 г. обратил внимание на то, что стандартные примеры кривых без длины, поверхностей без площади и тел без объема представляют собой фигуры, для которых

V(\varepsilon) \approx M\varepsilon^{\alpha}, (1)

однако \alpha не равно ни 3, как для точки, ни 2, как для линии, ни 1, как для поверхности, ни 0, как для пространственной области. Он предложил ввести понятие дробной размерности,

dim A = 3 - \alpha , (2)

а M считать мерой (т.е. обобщением длины, площади, объема), которые благодарные потомки назвали хаусдорфовой размерностью и мерой Хаусдорфа. Мера Хаусдорфа измеряется в cm^{dim A} и при целой хаусдорфовой размерности совпадает с длиной, площадью и объемом, понимаемыми по Минковскому. Хаусдорфову размерность удобно определять, строя график функции V(\varepsilon) в координатах ln V- ln\varepsilon. Тогда степенная зависимость (1) соответствует прямолинейному участку графика, его наклон дает размерность, а точка пересечения с вертикальной осью – меру.

Итак, кривые без длины, поверхности без площади, области без объема на самом деле – просто фигуры с нецелой размерностью. Еще один известный математик, О. Гёльдер, показал, что дробная размерность тесно связана с плохой дифференцируемостью функции, которая задает, скажем, плохую кривую. Напомним, что производная функции f(x) это предел отношения \Delta f/\Delta x при \Delta x \to 0. Если этот предел не существует (скажем, бесконечен), то функция не дифференцируема, но может существовать предел

f^{(\mu)}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left(\Delta f/\Delta x \right)

который называется дробной производной, или показателем Гёльдера порядка \mu. Дробная размерность прямо выражается через этот показатель.

Строго говоря, понятие дробной размерности применимо не только к самоподобным объектам, но оно осмыслено именно для них, причем сама размерность определяется характером подобия, а соображения Галилея оказываются неприменимыми просто потому, что у нашей фигуры нет, скажем, площади.

В первой половине XX века было обнаружено, что объекты с дробной размерностью встречаются в повседневной жизни. Более того, знание их геометрии имеет определенное, хотя и специфическое, хозяйственное значение.

Во время мировой войны выдающийся английский гидромеханик Ричардсон как образцовый гражданин стремился внести посильный вклад в оборону страны. Однако военное ведомство сомневалось в его способностях, так что поручило ему задачу, которая казалась по плечу любому – вычислить по географическим картам длину береговой линии Англии. Ричардсон подошел серьезно к важному правительственному заданию и через продолжительное время порадовал заказчика сообщением, что береговая линия Англии не имеет длины, а является объектом дробной размерности. Ответ заказчика на этот отчет история не сохранила в связи с соображениями общественной морали.

Менее известный, но гораздо более важный пример объекта с дробной размерностью представляет собой траектория броуновской частицы, или более научно – винеровского процесса, которая имеет 1/2 гёльдеровской производной и, соответственно, дробную размерность.

Ричардсон пользовался несколько иным определением дробной размерности и меры, чем те, которые даются соотношениями (1, 2). Сейчас математики построили целый набор различных размерностей самоподобных объектов.

Упомянутые и многие другие классики науки, принимавшие участие в развитии теории объектов с дробной размерностью, допустили одну небольшую, но очень важную оплошность – они не придумали красивого названия своей деятельности и не описали его в форме, хорошо доступной для потребителя. Это сделал уже в наши дни Б.Мандельброт, который ввел для объектов с дробной размерностью название фрактала и написал хорошим языком несколько книг на эту тему, что принесло ему мировую известность, несопоставимую с известностью Хаусдорфа.

Пример Мандельброта вызывает понятное чувство неприятия у профессиональных математиков. Однако в некотором смысле он представляет собой знаковое событие для нашего времени: из-за несоразмерного внимания к технической стороне вопроса и игнорирования интересов читателя работы математиков давно уже стали непонятны не только для неспециалистов, но и для математиков, специализирующихся в смежных областях. Поэтому своевременно появившаяся работа популяризатора может стать эпохальным явлением. Представляется, что именно эта особенность предопределила несомненный кризис современной математики, выражающейся в неспособности предложить синтез идей и осмысление задач, подобный тому, который на пороге XX века предложил Гильберт.

Концепция фракталов произвела огромное впечатление на научный мир. Фракталы стали привлекать для описания самых разнообразных явлений. Например, строение легких, способных организовывать эффективный обмен между кровью и воздухом в силу огромной площади, на которой происходит обмен, при ограниченном общем объеме, стали характеризовать как фрактальное. Однако постепенно энтузиазм сменяется более трезвой оценкой ситуации. Конечно, во всяком реальном теле закон (1) может поддерживаться только для какого-то ограниченного диапазона изменения \varepsilon, причем обычно этот диапазон не так и велик, чтобы настаивать на фрактальной природе объекта. Более важно другое соображение. Пусть мы в результате серьезных усилий показали, например, что фрактальная размерность легкого равна данному дробному числу. Спрашивается, насколько это приблизило нас нас к пониманию биологического смысла явления? В самом деле, для чего нужно знать, что береговая линия Англии имеет размерность 1,3? Конечно, фрактальная размерность действительно очень полезна, скажем, в том случае, когда нужно сравнить свойства реального объекта и его компьютерной симуляции.

В стандартных книгах по теории фракталов обычно не приводят примеров из ботаники. Однако рассматривание картинок из атласа высших растений убеждает в том, что границы, скажем, листьев бывают ничуть не менее изрезаны, чем береговая линия Англии, и для количественной характеристики этой изрезанности могла бы пригодиться фрактальная размерность. Конечно, только опыт работы может сказать, насколько такой признак полезен для целей систематики.

Другой пример из области ботаники связан с понятием псевдоцикла, возникновения очень сходных, но не гомологичных явлений различных масштабов в серии сопоставимых друг с другом растений. Например, соцветие может приобрести большое сходство с отдельным цветком. Нетрудно убедиться, что именно таким образом, с помощью ряда фигур, все усложняющихся и обретающих новые структурные ярусы, подобные ярусам предыдущего масштаба, и строят примеры фракталов в математике. Конечно, в ботанических примерах количество таких ярусов невелико и обычно не превосходит 3 – 4, а в математических работах говорят о бесконечно увеличивающемся количестве ярусов. Физик скажет, что их должно быть ну хотя бы штук десять. Конечно, полезно понимать, что понятие псевдоцикла вписывается в какой-то общенаучный контекст, но даст ли здесь теория фракталов нечто большее, может показать только опыт конкретных исследований.

В целом кажется, что концепция фракталов действительно открыла новые горизонты в понимании природы, однако конкретная роль геометрии фракталов в науке достаточно ограничена. Сегодня математика знает многие другие пути описания необычных пространственных структур, которые вполне могут представлять интерес для биологии. Другой вопрос, что, говоря современным языком, степень раскрученности этих представлений совершенно несопоставима с раскрученностью теории фракталов. Чтобы не быть голословным, приведем один из возможных примеров.

Рассмотрим популяцию бактерий, которая в начальный момент t=0 распределена в пространстве с концентрацией \varphi _0(x). Пусть условия жизни этих бактерий пространственно неоднородны так, что их скорость размножения представляет собой гауссову случайную величину U(x) (точнее, гауссово случайное поле с достаточно быстрым убыванием пространственных корреляций) с нулевым среднем и дисперсией \sigma^2. Если пренебречь всеми другими факторами, то концентрация бактерий в последующие моменты времени растет экспоненциально со временем и равна, очевидно,

\varphi (x, t) = \varphi _0(x)exp(U(x)t), (3)

На первый взгляд кажется, что средняя концентрация тоже должна расти экспоненциально со скоростью порядка \sigma. Поразительно, что на самом деле средняя концентрация бактерий растет гораздо быстрее:

\varphi (x, t) = \varphi_0(x)exp(\sigma^2t^2/2), (4)

Хотя (4) получается из (3) с помощью непосредственного подсчета по формуле, дающей определение средней концентрации, этот результат нарушает все стандартные представления здравого смысла и статистической физики. Разгадка парадокса состоит в том, что гауссова величина U может принимать значения, сколь угодно превосходящие \sigma, правда, с очень малой вероятностью. Максимумы величины U образуют очень редкие максимумы в пространстве. Чем дальше такой максимум отстоит от точки, в которой находится наблюдатель, тем большее значение в нем может принять скорость роста U и тем быстрее в этой точке растет концентрация бактерий. Скорость роста средней концентрации определяется очень и очень удаленными максимумами U.

Если ввести в рассмотрение еще один фактор – диффузию бактерий с коэффициентом диффузии v, то задача сведется к исследованию поведения решений уравнения

\frac{\partial \varphi }{\partial t} = U\varphi + v\Delta\varphi , (5)

которое хорошо изучено в математике и физике, поскольку оно очень похоже на главное уравнение квантовой механики – уравнение Шрёдингера.

Специалисты, изучавшие уравнение (5), первоначально рассматривали микробиологическую фразеологию как средство сделать математические выкладки более понятными. Однако анализ ссылок на этот круг работ показывает, что микробиологи отнеслись к выводам вполне серьезно. Более того, поведение величины \varphi до неприятности напоминает поведение людей в начальный период развития капитализма, описанное, скажем, в работах Ф.Броделя. Сначала отдельные максимумы U образуют зоны влияния, в которых концентрация \varphi определяется диффузией из области близкого максимума. Позже различные зоны влияния соприкасаются друг с другом и начинается конкуренция, в результате которой зона влияния более сильного максимума поглощает зону конкурента. В целом картина действительно очень напоминает картину смены Амстердама, Лондона, Нью-Йорка в качестве центров мировой экономической жизни.

Рассмотренный пример допускает самые разнообразные обобщения. Например, можно сделать случайную скорость размножения меняющейся не только в пространстве, но и во времени. Чем более сложной становится модель, тем большим становится карикатурное сходство с описанием человеческой жизни, так что хочется спросить, неужели люди в своем поведении действительно не выходят за рамки примитивного уравнения (5)?

Во второй половине ХХ века концепция фракталов привела к существенному изменению взгляда на возможные пространственные конфигурации окружающих нас тел и их структуру. Соответствующие геометрические образы были сконструированы математиками около столетия назад, но только недавно они стали достоянием широкого круга естествоиспытателей. Несомненно родство между понятиями фрактальной геометрии и некоторыми представлениями, возникшими в ходе развития ботаники.



Библиография

Галилей Г. Диалог о двух системах мира. М.; Л., 1948

Гомологии в ботанике: Опыт и рефлексия. СПб., 2001

Жизнь растений/Под ред. А.Л.Тахтаджян. М., 1982

Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. Фракталы, подобие, промежуточная асимптотика//Успехи физ. Наук. 1985. Т. 146. № 3

Кузнецова Т.В., Пряхина Н.И., Яковлев Г.П. Соцветия: Морфологическая классификация. СПб., 1992.

Мун Ф. Хаотические колебания. М., 1990

Павлинов И.Я., Микешина Н.Г. Принципы и методы геометрической морфометрии//Журнал общей биологии. 2002. Т. 63. № 6

Садовничий В.А. Математическое образование: настоящее и будущее. М., 2000.

Свифт Дж. Памфлеты. М., 1955

Федер Е. Фракталы. М., 1991

Франковский А. Примечания/Дж. Свифт. Путешествия Гулливера. Л., 1928 Anufriev A., Sokoloff D. Fractal properties of geodynamo models//Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1994. V. 74. № 1–4

Avnir D., Biham O., Lidar D., Malcai O. Is the geometry of nature fractal?//Science. 1998. V. 279

Kuznetzova T.V. Angiosperm inflorescences and different types of their structural organization. Flora, 1988

Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. New York, 1982

Rothmaler W. Exursionsflora. Bd. 3. Berlin, 1987

Sokoloff D. Fractals self-similarity and structures. Wulenia, 2002

Zeldovich Ya. B., Ruzmaikin A. A., Sokoloff D. D. The Almighty Chance. Singapur, 1990


Тема № 273(47)
Эфир 24.06.03
Хронометраж 50:11
Комментарии: 0