Scisne?

Теорема Гёделя — синтаксическая версия // Успенский В. А. ≫ Комментарии

# 23 Авг 2016 10:02:22
Инт

Замечание

Могут ли существовать омега-противоречивые, но непротиворечивые теории, где утверждение о существовании предмета с некоторым свойством выводимо, но для каждого конкретного предмета теории свойство неверно, и тогда утверждение оказывается «доказанным», но неверным? Но само понятие «омега-противоречия» абсурдно. Омега-противоречие зависит от предметной области, подходящей для теории. Каким способом, кроме средств теории, должна определяться предметная область? Откуда известно об отсутствии предметной области, убирающей омега-противоречие – наряду с мифологической предметной областью, в которой омега-противоречие будто бы может иметь место? Если выводимо существование предмета с неким свойством, то вот он и есть «конкретный предмет» для конкретной предметной области, для которого цепочка «неудачных проверок» оборвана. Если омега-противоречие теории доказуемо в метатеории, то метатеория противоречива: Действительно, метатеория, она единственная, которая может говорить «обо всех неудачных проверках», а формула теории, говорящая о «существовании удачной проверки», обязана быть доказуемой формулой метатеории, при том, что всякая формула теории должна быть формулой метатеории. Т.е. метатеория обязана доказать «удачную теорему о существовании», чтобы вообще говорить об омега-противоречивости. В противном случае, метатеория не может заявлять ни об «омега-противоречивости», ни об «омега-непротиворечивости» исследуемой теории. Иными словами, предположим, кроме обычных доказательств, проводимых средствами теории, неведомым способом находится истинность или ложность формул теории (этот способ никем не предъявлен). К примеру, когда утверждается существование доказуемой и ложной формулы. Как тогда определена истинность формул, по доказательствам или по неведомому способу?

Из рассуждений Успенского вытекает только то, что в полной теории множество всех теорем не перечислимо. Что и имеет место в любой теории алгоритмов: поскольку не перечислимо множество всех перечислимых функций теории, то и не перечислимы теоремы, которые говорят о таких функциях. Тем более, это касается всех теорем теории. Неявные метаматематические допущения, например, предположение о лексикографическом упорядочении знаков только на первый взгляд кажутся очевидными как средства перечисления, так как, допуская рассуждения о знаках, нумерацию теорем и пр. в самой теории, мы порождаем новые проблемы. Семантическая, т.б. смысловая версия так называемой «первой теоремы Гёделя о неполноте» приводит к ещё более жёстким противоречиям. Прежде чем излагать спорный вопрос, следовало бы устранить противоречия в определениях Гёделя. Но они не устранимы. Хотя бы тот факт, что «гёделева формула» не совместима с аксиомой «из доказуемости следует истинность». Совершенно искусственны, нелепы приёмы, которые используют для выкидывания этой аксиомы.
Только зарегистрированные пользователи могут создавать сообщения.
Вход, Регистрация.