Scisne?

Построены первые симметричные простые диаграммы Венна для одиннадцати кривых

# 4 Ноя 2013 19:17:39
Louiza

Используя оригинальный метод поиска схем, демонстрирующих все возможные пересечения нескольких множеств, математики из Канады нашли симметричные диаграммы, изображаемые с помощью 11 замкнутых кривых, в каждой точке пересечения которых встречаются только две из них.

Двое математиков из канадского Университета Виктории нашли способ построения симметричных простых диаграмм Венна для одиннадцати кривых.

Диаграмма такого типа отражает все возможные пересечения нескольких множеств, которые и представляются замкнутыми кривыми на плоскости. Считается, что участок пространства, ограниченный кривой, содержит все элементы какого-либо множества, а внешняя область — элементы, не входящие в него. Если в простейшем случае двух замкнутых кривых одна из них, к примеру, будет отвечать за множество «напитки», а другая — за «минеральные воды», диаграмма Венна покажет не только очевидное пересечение «минеральные воды — напитки», но и область «минеральные воды, которые не являются напитками». Когда мы подразумеваем именно питьевые воды, такой участок будет фактически пустым, но на схеме Венна, в отличие от родственной ей диаграммы Эйлера, он всё равно должен сохраниться как теоретически допустимый.

Диаграммы Венна можно классифицировать и выделить их простые и симметричные разновидности. У простых диаграмм, поясним, в каждой точке пересечения кривых встречаются только две из них, а симметричные образцы отличаются тем, что они сохраняют изначальный вид (с точностью до перенумерации кривых) после поворота плоскости на 2π/n радиан, где n — общее число кривых.

Внимание специалистов к симметричным диаграммам привлекла работа американца Дэвида Хендерсона, показавшего, что схемы этого типа реализуемы только для простых n. Хотя случаи n = 2 и n = 3 тривиальны и способ создания простой симметричной диаграммы с таким числом кривых (окружностей) очевиден, при увеличении n до пяти у математиков уже возникли известные трудности: первый корректный пример построения, в котором роль замкнутых кривых сыграли эллипсы, был найден лишь в 1975-м. Переход к n = 7 занял ещё около двадцати лет.

http://f3.s.qip.ru/7nKaav5k.jpg
http://f3.s.qip.ru/7nKaav5l.jpgОбщий вид первой простой симметричной диаграммы Венна с одиннадцатью кривыми и увеличенное изображение её небольшого участка (иллюстрации авторов работы).

Чтобы отыскать простые и симметричные варианты для n = 11, авторам пришлось определять новые структурные элементы диаграмм (скажем, отрезки кривых, последовательно пересекающие все прочие кривые без повторений). Ориентируясь на симметрии, связанные с этими элементами, учёные сузили поле перебора — и обнаружили множество подходящих диаграмм Венна. Первый простой симметричный образец с 11 кривыми, найденный в марте 2012-го, показан выше.

Сейчас канадцы занимаются поиском аналогичных диаграмм с n = 13. Результатов эта работа пока не принесла.

Подготовлено по материалам NewScientist и arXiv.

compulenta
Только зарегистрированные пользователи могут создавать сообщения.
Вход, Регистрация.